Utrditi sposobnost množenja naravnih števil, navadnih in decimalnih ulomkov;

Naučite se množiti pozitivna in negativna števila;

Razvijati sposobnost skupinskega dela

Razviti radovednost, zanimanje za matematiko; sposobnost razmišljanja in govora o temi.

Oprema: modeli termometrov in hiš, kartice za mentalno štetje in testno delo, plakat s pravili za znake množenja.

Motivacija

učiteljica . Danes začenjamo raziskovati novo temo. Zgradili bomo novo hišo. Povejte mi, kaj določa trdnost hiše?

Zdaj pa preverimo, kaj je naš temelj, torej trdnost našega znanja. Nisem vam povedal teme lekcije. Kodiran je, torej skrit v nalogi za ustno štetje. Bodite pozorni in pozorni. Tukaj so kartice s primeri. Če jih rešite in povežete črko z odgovorom, boste izvedeli ime teme lekcije.

učiteljica. Ta beseda je torej množenje. A množenje že poznamo. Zakaj ga moramo preučevati? Katere številke ste nedavno srečali?

[S pozitivnim in negativnim.]

Ali jih lahko pomnožimo? Zato bo tema lekcije "Množenje pozitivnih in negativnih števil."

Hitro in pravilno ste rešili primere. Dobri temelji so bili postavljeni. ( Učitelj na vzorčni hiši « leži» temelj.) Mislim, da bo hiša vzdržljiva.

Raziskovanje nove teme

učiteljica . Zdaj pa zgradimo zidove. Povezujejo tla in streho, torej staro temo z novo. Zdaj boste delali v skupinah. Vsaka skupina bo dobila problem, ki ga bo skupaj rešila, nato pa bo rešitev razložila razredu.

1. skupina

Temperatura zraka vsako uro pade za 2°. Zdaj termometer kaže nič stopinj. Kakšno temperaturo bo pokazal po 3 urah?

Skupinska odločitev. Ker je zdaj temperatura 0 in vsako uro temperatura pade za 2°, je očitno, da bo po 3 urah temperatura -6°. Padec temperature označimo z –2°, čas pa z +3 ure. Potem lahko predpostavimo, da je (–2) 3 = –6.

učiteljica . In kaj se zgodi, če prerazporedim faktorje, to je 3 (–2)?

Študenti. Odgovor je enak: -6, ker je uporabljena komutativna lastnost množenja.

Temperatura zraka vsako uro pade za 2°. Zdaj termometer kaže nič stopinj. Kakšno temperaturo zraka je kazal termometer pred 3 urami?

Skupinska odločitev. Ker je temperatura vsako uro padla za 2° in je zdaj 0, je očitno, da je bila pred 3 urami +6°. Označimo znižanje temperature za -2°, pretečeni čas pa za -3 ure. Potem lahko predpostavimo, da je (–2) (–3) = 6.

učiteljica . Ne znate še množiti pozitivnih in negativnih števil. Reševali pa so naloge, kjer je bilo treba takšna števila pomnožiti. Poskusite sami izpeljati pravila za množenje pozitivnih in negativnih števil, dveh negativnih števil. ( Učenci skušajo ugotoviti pravilo.) Globa. Zdaj pa odprimo učbenike in preberimo pravila za množenje pozitivnih in negativnih števil. Primerjaj svoje pravilo z napisanim v učbeniku.

1. praviloČe želite pomnožiti dve števili z različnimi znaki, morate pomnožiti module teh števil in pred nastalim produktom postaviti znak "-".

2. pravilo. Če želite pomnožiti dve števili z enakimi znaki, morate pomnožiti module teh števil in pred nastalim produktom postaviti znak "+".

učiteljica. Kot ste videli pri gradnji temeljev, z množenjem naravnih in delnih števil nimate težav. Težave se lahko pojavijo pri množenju pozitivnih in negativnih števil. Zakaj?

Ne pozabite! Pri množenju pozitivnih in negativnih števil:

1) določi znak;
2) poiščite produkt modulov.

učiteljica . Za znake za množenje obstajajo mnemonična pravila, ki si jih je zelo enostavno zapomniti. Na kratko so oblikovani takole:

"+" "+" \u003d "+" - plus na plus daje plus;
“–” “+” = “–” - minus plus daje minus;
"+" "-" \u003d "-" - plus minus daje minus;
“–” · “–” = “+” - minus krat minus daje plus.

(V zvezke učenci zapišejo pravilo znakov.)

učiteljica . Če imamo sebe in svoje prijatelje za pozitivne, svoje sovražnike pa za negativne, potem lahko rečemo tole:

Prijatelj mojega prijatelja je moj prijatelj.
Sovražnik mojega prijatelja je moj sovražnik.
Prijatelj mojega sovražnika je moj sovražnik.
Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj.

Primarno razumevanje in uporaba preučenega

Primeri za ustno rešitev na tabli. Učenci pravijo pravilo:

učiteljica . Vse jasno? Ni vprašanj? Stene so torej zgrajene. ( Učitelj postavlja stene.) Kaj zdaj gradimo?

(Pred tablo so povabljeni štirje učenci.)

učiteljica. Je streha pripravljena?

(Učitelj postavi streho na model hiše.)

Učenci dokončajo delo v eni različici.

Po končanem delu si s sosedom izmenjajo zvezke. Učitelj sporoči pravilne odgovore, učenci pa se med seboj ocenjujejo.

Povzetek lekcije. Odsev

učiteljica. Kaj je bil naš cilj na začetku lekcije? Ste se naučili množiti pozitivna in negativna števila? ( Ponavljajo pravila.) Kot ste videli v tej lekciji, je vsaka nova tema hiša, ki jo je treba leta kapitalsko graditi. V nasprotnem primeru se bodo vse vaše zgradbe po kratkem času zrušile. Zato je vse odvisno od vas. Želim, fantje, da se vam sreča vedno nasmehne, uspeh pri obvladovanju znanja.

Podpišite pravila

pravila znaka

Oglejmo si podrobneje osnovna pravila znakov.

Če »plus« delimo z »minusom«, vedno dobimo »minus«. Če »minus« delimo s »plusom«, vedno dobimo tudi »minus«. Če "plus" delimo s "plus", dobimo "plus". Če »minus« delimo z »minusom«, potem nenavadno dobimo tudi »plus«.

Če pomnožimo "minus" s "plusom", vedno dobimo "minus". Če pomnožimo "plus" z "minusom", vedno dobimo tudi "minus". Če pomnožimo "plus" s "plus", potem dobimo pozitivno število, to je "plus". Enako velja za dve negativni števili. Če "minus" pomnožimo z "minusom", dobimo "plus".

Temeljijo na drugih načelih. Če je negativno število v absolutni vrednosti večje od našega pozitivnega, potem bo rezultat seveda negativen. Zagotovo se sprašujete, kaj je modul in zakaj je sploh tukaj. Vse je zelo preprosto. Modul je vrednost števila, vendar brez predznaka. Na primer -7 in 3. Modulo -7 bo samo 7, 3 pa bo ostal 3. Posledično vidimo, da je 7 večje, to pomeni, da se izkaže, da je naše negativno število večje. Izšlo bo torej -7 + 3 \u003d -4. Lahko je še lažje. Samo postavite pozitivno število na prvo mesto in izšlo bo 3-7 = -4, morda je komu bolj razumljivo. Odštevanje deluje na povsem enak način.

Zakaj je minus krat minus enako plusu?

"Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj."

Pred davnimi časi so ljudje poznali le naravna števila: 1, 2, 3, . Uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Toda same številke so precej neuporabne - z njimi morate znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Množenje je pravzaprav enako seštevanje, če govorimo o naravnih številih. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki z njimi srečevali manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto je treba eno količino deliti z drugo, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen kot naravno število - tako so se pojavila ulomna števila.

Negativna števila se pojavljajo v indijskih dokumentih iz 7. stoletja našega štetja; Kitajci so jih očitno začeli uporabljati malo prej. Uporabljali so jih za obračun dolgov ali v vmesnih izračunih za poenostavitev reševanja enačb – bil je le pripomoček za pridobitev pozitivnega odgovora. Močno nezaupanje je vzbudilo dejstvo, da negativna števila za razliko od pozitivnih ne izražajo prisotnosti nobene entitete. Ljudje so se dobesedno izogibali negativnim številom: če je problem dobil negativen odgovor, so verjeli, da odgovora sploh ni. To nezaupanje je trajalo zelo dolgo in celo Descartes - eden od "utemeljiteljev" moderne matematike - jih je označil za "lažne" (v 17. stoletju!).

7x - 17 = 2x - 2. Lahko se reši takole: člene z neznanko premaknite na levo stran, ostale pa na desno, izkazalo se bo 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Lahko pa bi pomotoma naredili drugače: premaknili izraze z neznanko na desno stran in dobili 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) = (–5)x. Če želite najti neznanko, morate eno negativno število deliti z drugim: x = (–15)/(–5). Toda pravilen odgovor je znan in treba je še ugotoviti, da (–15)/(–5) = 3 .

. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z velikim številom členov) iskanja poti rešitve, v kateri se vsa dejanja izvajajo samo na naravnih številih. Poleg tega ne moremo več vsakič razmišljati o smiselnosti pretvorjenih količin - in to je že korak k temu, da matematiko spremenimo v abstraktno znanost.

Pravila za dejanja na negativnih številih niso nastala takoj, ampak so postala posplošitev številnih primerov, ki so se pojavili pri reševanju uporabnih problemov. Na splošno lahko razvoj matematike pogojno razdelimo na stopnje: vsaka naslednja stopnja se od prejšnje razlikuje po novi ravni abstrakcije pri preučevanju predmetov. Tako so v 19. stoletju matematiki spoznali, da imajo cela števila in polinomi, kljub svoji zunanji različnosti, veliko skupnega: oboje je mogoče seštevati, odštevati in množiti. Te operacije se podrejajo istim zakonom – tako v primeru števil kot v primeru polinomov. Toda deljenje celih števil eno z drugim, tako da so rezultat spet cela števila, ni vedno mogoče. Enako velja za polinome.

prstan aksiomi

prstan

A + B = B + A za poljubne elemente A in B) in asociativno ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, in za kateri koli element A (–A)), Kaj A + (–A) = 0 ;
Množenje se ravna po kombinacijskem zakonu: A (B C) = (A B) C ;

Upoštevajte, da obroči v najsplošnejši konstrukciji ne zahtevajo, da bi bilo množenje permutabilno, niti ni obrnljivo (to pomeni, da ni vedno mogoče deliti), niti obstoja enote - nevtralnega elementa glede na množenje. Če uvedemo te aksiome, dobimo druge algebraične strukture, vendar bodo v njih resnični vsi izreki, dokazani za obroče.

A obstajata dve nasprotji: B in Z. To je A + B = 0 = A + C. Upoštevajte vsoto A+B+C B: C: . pomeni, B=C .

Naj zdaj to opazimo A, In (–(–A)) (–A)

Prvo dejstvo dobimo takole: tj. (–A) B nasprotje A B, torej je enako –(A B) .

0 B = 0 za katerikoli element B. Prav zares, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Se pravi dodatek 0 B

Pravila za množenje minusa z minusom

Z nekaj natega je enaka razlaga primerna za produkt 1-5, če predpostavimo, da je "vsota" enega samega

izraz je enak temu izrazu. Toda produkta 0 5 ali (-3) 5 ni mogoče razložiti na ta način: kaj pomeni vsota nič ali minus treh členov?

Možno pa je prerazporediti faktorje

Če želimo, da se produkt ne spremeni, ko se faktorji prerazporedijo - kot je bilo za pozitivna števila -, potem moramo torej predpostaviti, da

Zdaj pa preidimo na produkt (-3) (-5). Kaj je enako: -15 ali +15? Obe možnosti sta smiselni. Po eni strani že minus pri enem faktorju naredi produkt negativen - še toliko bolj bi moral biti negativen, če sta oba faktorja negativna. Po drugi strani pa v tabeli. 7 ima že dva minusa, a le en plus, "pošteno" (-3)-(-5) pa bi moralo biti enako +15. Kaj imaš torej raje?

Seveda vas takšni pogovori ne bodo zmedli: iz šolskega tečaja matematike ste se trdno naučili, da minus z minusom daje plus. Toda predstavljajte si, da vas vaš mlajši brat ali sestra vpraša: zakaj? Kaj je to - učiteljeva muha, navedba višjih avtoritet ali izrek, ki ga je mogoče dokazati?

Običajno je pravilo za množenje negativnih števil razloženo s primeri, kot je prikazan v tabeli. 8.

Lahko se razloži drugače. Zapišimo številke v vrsto

Zdaj zapišimo iste številke, pomnožene s 3:

Preprosto vidimo, da je vsako število za 3 večje od prejšnjega, zdaj pa zapišimo iste številke v obratnem vrstnem redu (začenši na primer s 5 in 15):

Hkrati se je izkazalo, da je število -15 pod številom -5, torej 3 (-5) \u003d -15: plus za minus daje minus.

Zdaj pa ponovimo isti postopek in pomnožimo števila 1,2,3,4,5. za -3 (že vemo, da je plus krat minus enako minus):

Vsaka naslednja številka spodnje vrstice je manjša od prejšnje za 3. Zapišimo številke v obratnem vrstnem redu

Izkazalo se je, da je število -5 15, torej (-3) (-5) = 15.

Morda bi te razlage zadovoljile vašega mlajšega brata ali sestro. Imate pa pravico vprašati, kako je v resnici in ali je mogoče dokazati, da je (-3) (-5) = 15?

Odgovor je, da je mogoče dokazati, da mora biti (-3) (-5) enako 15, če le želimo, da običajne lastnosti seštevanja, odštevanja in množenja ostanejo resnične za vsa števila, vključno z negativnimi. Oris tega dokaza je naslednji.

Najprej dokažimo, da je 3 (-5) = -15. Kaj je -15? To je nasprotje od 15, tj. število, ki sešteje 15 proti 0. Torej moramo dokazati, da

(Z dajanjem 3 v oklepaj smo uporabili zakon distribucije ab + ac = a(b + c) pri - navsezadnje predpostavljamo, da ostaja resničen za vsa števila, vključno z negativnimi.) Torej, (Natančni bralec nas bo vprašal zakaj. Iskreno priznamo: dokaz tega dejstva - tako kot razpravo o tem, kaj je nič na splošno - preskočimo.)

Dokažimo zdaj, da je (-3) (-5) = 15. Da bi to naredili, zapišemo

in pomnožite obe strani enačbe z -5:

Odprimo oklepaje na levi strani:

tj. (-3) (-5) + (-15) = 0. Število je torej nasprotno številu -15, tj. enako 15. (V tem sklepanju so tudi vrzeli: dokazati bi bilo treba, da in da obstaja le eno število nasproti -15.)

Negativno pravilo. Zakaj je minus krat minus enako plus

Ko poslušajo učitelja matematike, večina učencev snov dojema kot aksiom. Hkrati le malo ljudi poskuša priti do dna in ugotoviti, zakaj "minus" do "plus" daje znak "minus", pri množenju dveh negativnih števil pa se pojavi pozitivna.

Zakoni matematike

Večina odraslih sebi ali svojim otrokom ne zna pojasniti, zakaj se to zgodi. To snov so se v šoli temeljito naučili, niso pa niti poskušali ugotoviti, od kod takšna pravila. Ampak zaman. Sodobni otroci pogosto niso tako lahkoverni, zadevi morajo priti do dna in razumeti, recimo, zakaj "plus" na "minus" daje "minus". In včasih malčki namerno postavljajo zapletena vprašanja, da bi uživali v trenutku, ko odrasli ne morejo dati razumljivega odgovora. In res je katastrofa, če mlad učitelj zabrede v kašo.

Mimogrede, opozoriti je treba, da zgoraj omenjeno pravilo velja tako za množenje kot za deljenje. Zmnožek negativnega in pozitivnega števila bo dal le minus. Če govorimo o dveh številkah z znakom "-", bo rezultat pozitivno število. Enako velja za delitev. Če je eno od števil negativno, bo tudi količnik z znakom "-".

Da bi pojasnili pravilnost tega matematičnega zakona, je treba oblikovati aksiome obroča. Toda najprej morate razumeti, kaj je to. V matematiki je običajno, da obroč imenujemo niz, v katerem sta vključeni dve operaciji z dvema elementoma. Toda bolje je to razumeti s primerom.

Aksiom obroča

Obstaja več matematičnih zakonov.

Prvi od njih je premakljiv, po njegovem C + V = V + C.
Drugi se imenuje asociativni (V + C) + D = V + (C + D).

Upošteva jih tudi množenje (V x C) x D \u003d V x (C x D).

Nihče ni preklical pravil, po katerih se odpirajo oklepaji (V + C) x D = V x D + C x D, prav tako velja, da C x (V + D) = C x V + C x D.

Poleg tega je bilo ugotovljeno, da je mogoče v obroč vnesti poseben, aditivno nevtralen element, s pomočjo katerega bo veljalo: C + 0 = C. Poleg tega za vsak C obstaja nasprotni element, ki lahko označimo kot (-C). V tem primeru je C + (-C) \u003d 0.

Izpeljava aksiomov za negativna števila

Če sprejmemo zgornje izjave, lahko odgovorimo na vprašanje: "" Plus "on" minus "da kakšen znak?" Če poznamo aksiom o množenju negativnih števil, je treba potrditi, da res (-C) x V = -(C x V). In tudi, da velja naslednja enakost: (-(-C)) = C.

Da bi to naredili, moramo najprej dokazati, da ima vsak od elementov samo enega nasprotnega "brata". Razmislite o naslednjem dokaznem primeru. Poskusimo si predstavljati, da sta dve števili nasprotni za C - V in D. Iz tega sledi, da je C + V = 0 in C + D = 0, to je C + V = 0 = C + D. Spomnimo se zakonov premika in o lastnostih števila 0 lahko upoštevamo vsoto vseh treh števil: C, V in D. Poskusimo ugotoviti vrednost V. Logično je, da je V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ker je vrednost C + D, kot je bilo sprejeto zgoraj, enaka 0. Zato je V = V + C + D.

Vrednost za D je izpeljana na enak način: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na podlagi tega postane jasno, da je V = D.

Da bi razumeli, zakaj kljub temu "plus" na "minus" daje "minus", morate razumeti naslednje. Torej, za element (-C) sta nasprotna C in (-(-C)), to pomeni, da sta enaka drug drugemu.

Potem je očitno, da 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Iz tega sledi, da je C x V nasprotno (-) C x V , kar pomeni (- C) x V = -(C x V).

Za popolno matematično strogost je treba tudi potrditi, da je 0 x V = 0 za kateri koli element. Če sledite logiki, potem 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. To pomeni, da dodajanje produkta 0 x V na noben način ne spremeni nastavljene količine. Navsezadnje je ta produkt enak nič.

Če poznamo vse te aksiome, je mogoče sklepati ne samo, koliko "plus" z "minusom" daje, ampak tudi, kaj se zgodi, ko se negativna števila pomnožijo.

Množenje in deljenje dveh števil z znakom "-".

Če se ne poglobite v matematične nianse, lahko poskusite razložiti pravila delovanja z negativnimi števili na preprostejši način.

Recimo, da je C - (-V) = D, na podlagi tega C = D + (-V), to je C = D - V. Prenesemo V in dobimo, da je C + V = D. To je C + V = C - (-V). Ta primer pojasnjuje, zakaj je treba v izrazu, kjer sta zaporedoma dva "minusa", omenjena znaka spremeniti v "plus". Zdaj pa se lotimo množenja.

(-C) x (-V) \u003d D, lahko izrazu dodamo in odštejemo dva enaka produkta, kar ne bo spremenilo njegove vrednosti: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Če se spomnimo pravil za delo z oklepaji, dobimo:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iz tega sledi, da C x V \u003d (-C) x (-V).

Podobno lahko dokažemo, da bo rezultat deljenja dveh negativnih števil pozitiven.

Splošna matematična pravila

Takšna razlaga seveda ni primerna za osnovnošolce, ki se šele začenjajo učiti abstraktnih negativnih števil. Bolje je, da razlagajo na vidnih predmetih, pri čemer manipulirajo z znanim izrazom skozi ogledalo. Na primer, tam so izumljene, vendar ne obstoječe igrače. Lahko so prikazani z znakom "-". Množenje dveh ogledalskih predmetov ju prenese v drug svet, ki je enačen s sedanjostjo, to pomeni, da imamo kot rezultat pozitivna števila. Toda množenje abstraktnega negativnega števila s pozitivnim daje le rezultat, ki je znan vsem. Navsezadnje "plus", pomnožen z "minus", daje "minus". Res je, otroci se ne trudijo preveč poglobiti v vse matematične nianse.

Čeprav, če se soočite z resnico, za mnoge ljudi, tudi z visoko izobrazbo, mnoga pravila ostajajo skrivnost. Vsakdo jemlje za samoumevno, kar ga učijo učitelji, in se ne more poglobiti v vso zapletenost, s katero je polna matematika. "Minus" na "minus" daje "plus" - to vedo vsi brez izjeme. To velja tako za cela kot za delna števila.

Minus in plus sta znaka negativnih in pozitivnih števil v matematiki. Sami s seboj komunicirajo na različne načine, zato je treba pri izvajanju kakršnih koli dejanj s številkami, na primer deljenje, množenje, odštevanje, seštevanje itd., upoštevati pravila znaka. Brez teh pravil nikoli ne boste mogli rešiti niti najpreprostejšega algebrskega ali geometrijskega problema. Brez poznavanja teh pravil ne boste mogli študirati ne le matematike, ampak tudi fizike, kemije, biologije in celo geografije.

Odštevanje in seštevanje.

Dve nikalnici pomenita pritrdilno- to je pravilo, ki smo se ga naučili v šoli in ga uporabljamo vse življenje. Kdo od nas se je vprašal zakaj? Seveda je lažje zapomniti to izjavo brez dodatnih vprašanj in se ne poglobiti v bistvo vprašanja. Zdaj je že dovolj informacij, ki jih je treba "prebaviti". Toda za tiste, ki jih to vprašanje še vedno zanima, bomo poskušali razložiti ta matematični pojav.

Že od pradavnine so ljudje uporabljali pozitivna naravna števila: 1, 2, 3, 4, 5, ... S pomočjo števil so šteli živino, pridelke, sovražnike itd. Pri seštevanju in množenju dveh pozitivnih števil so vedno dobili pozitivno število, pri deljenju enih količin z drugimi pa niso vedno dobili naravnih števil - tako so se pojavila ulomka. Kaj pa odštevanje? Že od otroštva vemo, da je boljše prišteti manjše k večjemu in odšteti manjše od večjega, pri čemer spet ne uporabljamo negativnih števil. Izkazalo se je, da če imam 10 jabolk, lahko nekomu dam le manj kot 10 ali 10. Nikakor ne morem dati 13 jabolk, ker jih nimam. Dolgo časa ni bilo potrebe po negativnih številih.

Šele od 7. stoletja našega štetja. negativna števila so bila v nekaterih sistemih štetja uporabljena kot pomožne vrednosti, kar je omogočilo pridobitev pozitivnega števila v odgovoru.

Razmislite o primeru, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Če želite najti odgovor, je treba na levi strani pustiti izraze z neznankami, ostalo pa na desni: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Pri reševanju te enačbe sploh ni negativnih števil. Lahko bi prenesli izraze z neznankami na desno stran in brez neznank - na levo: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Ko negativno število delimo z negativnim, dobimo pozitiven odgovor: x \u003d 7.

Dejanja z negativnimi števili bi nas morala pripeljati do enakega odgovora kot dejanja s samo pozitivnimi števili. Ne moremo več razmišljati o praktični neprimernosti in smiselnosti dejanj - pomagajo nam rešiti problem veliko hitreje, ne da bi enačbo reducirali na obliko samo s pozitivnimi števili. V našem primeru nismo uporabljali zapletenih izračunov, vendar nam ob velikem številu členov delo lahko olajšajo izračuni z negativnimi števili.

Sčasoma je bilo po dolgotrajnih poskusih in izračunih mogoče ugotoviti pravila, ki jih upoštevajo vsa števila in dejanja na njih (v matematiki jih imenujemo aksiomi). Od tod je prišlo aksiom, ki pravi, da ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število.

www.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

1) Zakaj je minus ena krat minus ena enako plus ena?
2) Zakaj je minus ena krat plus ena enako minus ena?

"Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj."

Najlažji odgovor je: "Ker so to pravila za delo z negativnimi števili." Pravila, ki se jih naučimo v šoli in jih uporabljamo vse življenje. Učbeniki pa ne pojasnjujejo, zakaj so pravila takšna, kot so. To bomo najprej poskušali razumeti iz zgodovine razvoja aritmetike, nato pa bomo na to vprašanje odgovorili z vidika sodobne matematike.

Pred davnimi časi so ljudje poznali le naravna števila: 1, 2, 3, . Uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Toda same številke so precej neuporabne - z njimi morate znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega pa je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Množenje je pravzaprav enako seštevanje, če govorimo o naravnih številih. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki z njimi srečevali manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto je treba eno količino deliti z drugo, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen z naravnim številom - tako so se pojavila ulomna števila.

Nepogrešljivo je seveda tudi odštevanje. Toda v praksi se nagibamo k odštevanju manjšega števila od večjega števila in ni potrebe po uporabi negativnih števil. (Če imam 5 bonbonov in 3 dam svoji sestri, potem bom imel 5 - 3 = 2 bonbona, vendar ji ne morem dati 7 bonbonov ob vsej svoji želji.) To lahko pojasni, zakaj ljudje niso uporabljali negativnih števil za dolgo časa.

Negativna števila se pojavljajo v indijskih dokumentih iz 7. stoletja našega štetja; Kitajci so jih očitno začeli uporabljati malo prej. Uporabljali so jih za obračun dolgov ali v vmesnih izračunih za poenostavitev reševanja enačb – bil je le pripomoček za pridobitev pozitivnega odgovora. Močno nezaupanje je vzbudilo dejstvo, da negativna števila za razliko od pozitivnih ne izražajo prisotnosti nobene entitete. Ljudje so se dobesedno izogibali negativnim številom: če je problem dobil negativen odgovor, so verjeli, da odgovora sploh ni. To nezaupanje je trajalo zelo dolgo in celo Descartes, eden od "utemeljiteljev" moderne matematike, jih je označil za "lažne" (v 17. stoletju!).

Upoštevajte na primer enačbo 7x - 17 = 2x - 2. Lahko se reši takole: člene z neznanko premaknite na levo stran, ostale pa na desno, izkazalo se bo 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. S to rešitvijo nismo srečali niti negativnih števil.

Kaj dokazuje ta preprost primer? Najprej postane jasna logika, ki je določala pravila za dejanja na negativnih številih: rezultati teh dejanj se morajo ujemati z odgovori, ki so pridobljeni na drugačen način, brez negativnih števil. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z velikim številom členov) iskanja poti rešitve, v kateri se vsa dejanja izvajajo samo na naravnih številih. Poleg tega ne moremo več vsakič razmišljati o smiselnosti pretvorjenih količin - in to je že korak k temu, da matematiko spremenimo v abstraktno znanost.

Nato so bile odkrite druge zbirke matematičnih objektov, na katerih je mogoče izvajati takšne operacije: formalne potenčne vrste, zvezne funkcije. Končno je prišlo do razumevanja, da če preučujete lastnosti samih operacij, potem lahko rezultate uporabite za vse te zbirke predmetov (ta pristop je značilen za vso sodobno matematiko).

Posledično se je pojavil nov koncept: prstan. To je le kup elementov in dejanj, ki jih je mogoče izvesti na njih. Temeljna pravila tukaj so le pravila (imenujejo se aksiomi), katerim so podvržena dejanja, ne naravi elementov nabora (tukaj je, nova raven abstrakcije!). V želji poudariti, da je pomembna struktura, ki nastane po uvedbi aksiomov, matematiki pravijo: obroč celih števil, obroč polinomov itd. Izhajajoč iz aksiomov je mogoče izpeljati druge lastnosti obročev.

Oblikovali bomo aksiome obroča (ki so seveda podobni pravilom za operacije s celimi števili), nato pa bomo dokazali, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom povzroči plus.

prstan je niz z dvema binarnima operacijama (to pomeni, da sta v vsako operacijo vključena dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

seštevanje obročnih elementov je podrejeno komutativnosti ( A + B = B + A za poljubne elemente A in B) in asociativno ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; obroč vsebuje poseben element 0 (nevtralni element z dodatkom), tako da A + 0 = A, in za kateri koli element A obstaja nasprotni element (označeno (–A)), Kaj A + (–A) = 0 ;
seštevanje in množenje sta povezana z naslednjimi pravili za razširitev oklepajev: (A + B) C = A C + B C in A (B + C) = A B + A C .

Ugotavljamo, da obroči v najsplošnejši konstrukciji ne zahtevajo, da bi bilo množenje permutabilno, niti ni obrnljivo (to pomeni, da ni vedno mogoče deliti), niti ne zahteva obstoja enote - nevtralnega elementa z spoštovanje množenja. Če uvedemo te aksiome, dobimo druge algebraične strukture, vendar bodo v njih resnični vsi izreki, dokazani za obroče.

Zdaj to dokažemo za vse elemente A in B poljuben obroč je resničen, prvič, (–A) B = –(A B), in drugič (–(–A)) = A. Iz tega zlahka sledijo izjave o enotah: (–1) 1 = –(1 1) = –1 in (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Da bi to naredili, moramo ugotoviti nekaj dejstev. Najprej dokažemo, da ima lahko vsak element samo eno nasprotje. Dejansko naj element A obstajata dve nasprotji: B in Z. To je A + B = 0 = A + C. Upoštevajte vsoto A+B+C. Z uporabo asociativnih in komutativnih zakonov ter lastnosti ničle dobimo, da je na eni strani vsota enaka B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, na drugi strani pa je enako C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. pomeni, B=C .

Naj zdaj to opazimo A, In (–(–A)) so nasproti istemu elementu (–A), zato morata biti enaka.

Prvo dejstvo gre takole: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to je (–A) B nasprotje A B, torej je enako –(A B) .

Če smo matematično strogi, pojasnimo, zakaj 0 B = 0 za katerikoli element B. Prav zares, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Se pravi dodatek 0 B ne spremeni zneska. Torej je ta produkt enak nič.

In dejstvo, da je v obroču natanko ena ničla (navsezadnje aksiomi pravijo, da tak element obstaja, nič pa ne pove o njegovi edinstvenosti!), bomo bralcu prepustili kot preprosto vajo.

Zakoni matematike

Aksiom obroča

Obstaja več matematičnih zakonov.

Prvi od njih je premakljiv, po njegovem C + V = V + C.
Drugi se imenuje asociativni (V + C) + D = V + (C + D).

Upošteva jih tudi množenje (V x C) x D \u003d V x (C x D).

Nihče ni preklical pravil, po katerih se odpirajo oklepaji (V + C) x D = V x D + C x D, prav tako velja, da C x (V + D) = C x V + C x D.

Izpeljava aksiomov za negativna števila

Če sprejmemo zgornje trditve, lahko odgovorimo na vprašanje: kakšen predznak daje "plus" na "minus"? Če poznamo aksiom o množenju negativnih števil, je treba potrditi, da res (-C) x V = -(C x V). In tudi, da velja naslednja enakost: (-(-C)) = C.

Vrednost za D je izpeljana na enak način: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na podlagi tega postane jasno, da je V = D.

Da bi razumeli, zakaj kljub temu "plus" na "minus" daje "minus", morate razumeti naslednje. Torej, za element (-C) sta nasprotna C in (-(-C)), to pomeni, da sta enaka drug drugemu.

Potem je očitno, da 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Iz tega sledi, da je C x V nasprotno (-) C x V , kar pomeni (- C) x V = -(C x V).

Če poznamo vse te aksiome, je mogoče sklepati ne samo, koliko "plus" z "minusom" daje, ampak tudi, kaj se zgodi, ko se negativna števila pomnožijo.

Množenje in deljenje dveh števil z znakom "-".

Če se ne poglobite v matematične nianse, lahko poskusite razložiti pravila delovanja z negativnimi števili na preprostejši način.

(-C) x (-V) \u003d D, lahko izrazu dodamo in odštejemo dva enaka produkta, kar ne bo spremenilo njegove vrednosti: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Če se spomnimo pravil za delo z oklepaji, dobimo:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iz tega sledi, da C x V \u003d (-C) x (-V).

Podobno lahko dokažemo, da bo rezultat deljenja dveh negativnih števil pozitiven.

Splošna matematična pravila

Linija UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matematika (5-6)

Matematika

Zakaj minus krat minus vedno daje plus?

Nasprotja se zbližajo. V otroštvu pogosto prejemamo nekatera navodila, ne da bi pojasnili razloge, zakaj je to ali ono dejanje mogoče ali ne. To se dogaja v šoli, čeprav je treba tam vse razložiti in poslikati. Tako se v študentski klopi naučimo, da je nemogoče deliti z ničlo oziroma da minus z minusom daje plus. Toda zakaj se to dogaja? Kdo je rekel, da je res? Danes bomo podrobno analizirali, zakaj, če pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število, in če pomnožite pozitivno in negativno število, dobite negativno število.

Prednosti naravnih števil

Najprej se potopimo v zgodovino aritmetike. Povsem naravno je, da so ljudje na samem začetku uporabljali le naravna števila - ena, dve, tri itd. Uporabili so jih za izračun dejanskega števila artiklov. Samo tako, ločeno od vsega, so bile številke neuporabne, zato so se začela pojavljati dejanja, s pomočjo katerih je postalo mogoče operirati s številkami. Popolnoma logično je, da je dodajanje postalo najbolj potrebno za človeka. Ta operacija je preprosta in naravna - postalo je lažje šteti število predmetov, zdaj ni bilo treba vsakič znova šteti - "ena, dva, tri". Zamenjava rezultata je zdaj možna z dejanjem "ena plus dva je enako tri". Seštevala so se naravna števila, tudi odgovor je bil naravno število.

Množenje je bilo v bistvu enako seštevanje. V praksi že zdaj, na primer, pri nakupih uporabljamo tudi seštevanje in množenje, kot so to počeli naši predniki že davno. Včasih pa je bilo treba izvesti operacije odštevanja in deljenja. In številki nista bili vedno enakovredni – včasih je bilo število, od katerega so odšteli, manjše od števila, ki so ga odšteli. Enako z delitvijo. Tako so se pojavila ulomna števila.

Pojav negativnih števil

Zapisi o negativnih številih so se pojavili v indijskih dokumentih v 7. stoletju našega štetja. V kitajskih dokumentih obstajajo starejši zapisi o tem matematičnem "dejstvu".

V življenju največkrat od večjega števila odštejemo manjše število. Na primer: imam 100 rubljev, kruh in mleko sta 65 rubljev; 100 - 65 = 35 rubljev sprememba. Če želim kupiti kakšen drug izdelek, katerega cena presega mojih preostalih 35 rubljev, na primer še eno mleko, potem ne glede na to, koliko ga želim kupiti, nimam več denarja, zato ga nimam. ne potrebujem negativnih števil.

Če pa še naprej govorimo o sodobnem življenju, omenimo kreditne kartice ali zmožnost mobilnega operaterja, da med klicanjem "preide v minus". Postane mogoče porabiti več denarja, kot ga imate, vendar denar, ki ga dolgujete, ne izgine, ampak se zapiše v dolg. In tu že pridejo na pomoč negativna števila: na kartici je 100 rubljev, kruh in dve mleku me bodo stali 110 rubljev; po nakupu je moje stanje na kartici -10 rubljev.

Praktično za iste namene so prvič začeli uporabljati negativna števila. Kitajci so jih prvi začeli uporabljati za zapisovanje dolgov ali pri vmesnih rešitvah enačb. Toda uporaba je bila še vedno le priti do pozitivne številke (vendar kot naše odplačilo kreditne kartice). Dolgo zavračanje negativnih števil je olajšalo dejstvo, da niso izražala posebnih predmetov. Deset kovancev je deset kovancev, tukaj so, lahko se jih dotaknete, z njimi lahko kupite blago. Kaj pomeni "minus deset kovancev"? Pričakujejo se tudi, če gre za dolg. Ni znano, ali bo ta dolg vrnjen in ali se bodo "posneti" kovanci spremenili v prave. Če je bilo pri reševanju naloge pridobljeno negativno število, se je štelo, da se je izkazal napačen odgovor ali da odgovora sploh ni bilo. Ta nezaupljiv odnos se je med ljudmi ohranil dolgo časa, celo Descartes (XVII. stoletje), ki je naredil preboj v matematiki, je negativna števila štel za »lažna«.

Naloge priročnika vam omogočajo, da preprečite morebitne težave pri obvladovanju glavnih tem četrtega letnika poučevanja matematike, pomagate pri razvoju prostorskih predstav, geometrijskega opazovanja učencev in oblikujete sposobnosti samokontrole.

Oblikovanje pravil za dejanja z negativnimi števili

Razmislite o enačbi 9x-12=4x-2. Če želite rešiti enačbo, morate člene z neznano premakniti na eno stran, znana števila pa na drugo. To lahko naredimo na dva načina.

Prvi način.

Del enačbe z neznanko premaknemo v levo, ostala števila pa v desno. Izkazalo se je:

Odgovor najden. Za vsa dejanja, ki smo jih morali izvesti, se nikoli nismo zatekli k uporabi negativnih števil.

Drugi način.

Sedaj prenesemo del enačbe z neznanko na desno, preostale člene pa na levo. Dobimo:

Da bi našli rešitev, moramo eno negativno število deliti z drugim. Pravilen odgovor pa smo dobili že v prejšnji rešitvi - to je x enako dva. Zato je treba sklepati, da je (-10)/(-5)=2.

Kaj nam dokazujeta ta dva načina reševanja iste enačbe? Najprej postane jasno, kako je prišlo do sklepanja o ustreznosti delovanja z negativnimi števili - dobljeni odgovor bi moral biti enak kot pri reševanju samo z naravnimi števili. Druga točka je dejstvo, da vam ni treba več razmišljati o vrednostih, da bi brez napak dobili nenegativno število. Izberete lahko najprimernejši način reševanja, zlasti za kompleksne enačbe. Dejanja, ki so omogočila, da o nekaterih operacijah (kaj je treba narediti, da so samo naravna števila; katero število je večje, da od njega odštejemo, itd.) ne razmišljamo, so postala prvi korak k »abstrahiranju« matematike. .

Seveda niso bila vsa pravila delovanja z negativnimi števili oblikovana hkrati. Rešitve so se kopičile, primeri so bili posplošeni, na podlagi katerih so začeli postopoma "črpati" glavne aksiome. Z razvojem matematike, z izdajo novih pravil, so se pojavile nove ravni abstrakcije. Na primer, v devetnajstem stoletju se je izkazalo, da imajo cela števila in polinomi veliko skupnega, čeprav se navzven razlikujejo. Vse jih je mogoče seštevati, odštevati in množiti. Pravila, ki jih spoštujejo, vplivajo nanje na en način. Kar zadeva delitev nekaterih celih števil z drugimi, tukaj "čaka" zanimivo dejstvo - odgovor ne bo vedno celo število. Isti zakon velja za polinome.

Nato so bile razkrite številne druge zbirke matematičnih objektov, na katerih je bilo mogoče izvajati takšne operacije: formalne potenčne vrste, zvezne funkcije ... Sčasoma so matematiki ugotovili, da bo po preučevanju lastnosti operacij mogoče uporabiti rezultatov za vse te zbirke predmetov. Enako je v sodobni matematiki.

Več zanimivih stvari:

Značilnosti dela učitelja matematike v študijskem letu 2018/2019
Tipične napake učiteljev pri poučevanju matematike v osnovni šoli
Obšolske dejavnosti pri matematiki v osnovni šoli

Čisto matematični pristop

Sčasoma so matematiki identificirali nov izraz - prstan. Prstan je skupek elementov in operacij, ki jih je mogoče izvajati na njih. Temeljna postanejo pravila (pravi aksiomi), ki so podvržena dejanjem, in ne narava elementov nabora. Da bi poudarili primarnost strukture, ki nastane po uvedbi aksiomov, se običajno uporablja izraz "obroč": obroč celih števil, obroč polinomov itd. Z uporabo aksiomov in izhajajoč iz njih je mogoče razkriti nove lastnosti prstanov.

Oblikujemo pravila obroča, podobna aksiomom operacij s celimi števili, in dokažemo, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom povzroči plus.

Obroč je niz z dvema binarnima operacijama (vsaka operacija vključuje dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

Seštevanje obročnih elementov je podrejeno komutativnim (A + B = B + A za poljubna elementa A in B) in kombinacijskim (A + (B + C) = (A + B) + C) zakonom; obroč ima poseben element 0 (poleg tega nevtralen), tako da je A + 0 = A, in za kateri koli element od A obstaja nasprotni element (označen z (-A)), tako da je A + (-A) = 0;

Množenje sledi kombinacijskemu zakonu: A (B C) = (A B) C;

Seštevanje in množenje sta povezana z naslednjimi pravili za razširitev oklepajev:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Naj pojasnimo, da obroči v najbolj splošni konstrukciji ne zahtevajo permutabilnosti množenja, niti njegove reverzibilnosti (operacija deljenja ni vedno mogoča), niti obstoja enote - nevtralnega elementa glede na množenje. Če uvedemo te aksiome, dobimo druge algebraične strukture, vendar z vsemi veljavnimi izreki, dokazanimi za obroče.

Matematika. 6. razred. Delovni zvezek številka 1.

Delovni zvezek vsebuje različne vrste nalog za osvajanje in utrjevanje nove snovi, naloge razvijalnega značaja, dodatne naloge, ki omogočajo diferencirano učenje. Zvezek se uporablja skupaj z učbenikom "Matematika. 6. razred "(avtor A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), ki je vključen v sistem izobraževalnih in metodoloških kompletov" Algoritem uspeha ".

Naslednji korak je dokazati, da za poljubna elementa A in B poljubnega obroča velja naslednje: (-A) B = -(A B) in (-(-A)) = A.

Iz tega dobimo izjave o enotah:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Nato moramo dokazati nekaj točk. Najprej je treba ugotoviti obstoj samo enega nasprotja za vsak element. Recimo, da ima element A dva nasprotna elementa: B in C. To je A + B \u003d 0 \u003d A + C. Analizirajmo vsoto A + B + C. Z uporabo komutativnih in asociativnih zakonov ter lastnosti nič, dobimo, da je vsota enaka:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Zato je B = C.

Upoštevajte, da sta A in (-(-A)) nasprotna elementu (-A). Zato sklepamo, da morata biti elementa A in (-(-A)) enaka.

tiste. (-A) B je nasprotje A B, torej je enako -(A B).

Upoštevajte, da je 0 · B = 0 za kateri koli element B.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

zato dodajanje 0 B ne spremeni vsote. Izkazalo se je, da je ta produkt enak nič.

Ali pravilno razumemo množenje?

"- A in B sta sedela na cevi. A je padel, B je izginil, kaj je ostalo na cevi?
"Vaše pismo I ostaja."

(Iz filma "Mladi v vesolju")

Zakaj množenje števila z nič povzroči nič?

7 * 0 = 0

Zakaj, ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število?

7 * (-3) = + 21

Česa si učitelji le ne izmislijo, da bi odgovorili na ti dve vprašanji.

A nihče nima poguma priznati, da so v formulaciji množenja tri pomenske napake!

Ali obstajajo napake v osnovah aritmetike? Navsezadnje se matematika postavlja kot natančna znanost ...

Šolski učbeniki matematike ne ponujajo odgovorov na ta vprašanja, razlage nadomeščajo s pravili, ki si jih je treba zapomniti. Morda to temo težko razložijo v srednji šoli? Poskusimo razumeti ta vprašanja.

7 - množitelj. 3 je množitelj. 21 - delo.

Po uradnem besedilu:

pomnožiti število z drugim številom pomeni prišteti toliko množiteljev, kot jih predpisuje množitelj.

Glede na sprejeto besedilo nam faktor 3 pove, da bi morale biti na desni strani enakosti tri sedmice.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Toda ta formulacija množenja ne more pojasniti zgoraj zastavljenih vprašanj.

Popravimo besedilo množenja

Običajno je v matematiki veliko mišljeno, a se ne pove ali zapiše.

To se nanaša na znak plus pred prvimi sedmimi na desni strani enakosti. Zapišimo to.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Toda kaj je dodano prvim sedmim. Pomeni, da v nulo, seveda. Napišimo nulo.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Kaj pa, če pomnožimo s tri minus sedem?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Zapišemo seštevanje množitelja -7, pravzaprav izvedemo večkratno odštevanje od nič. Razširimo oklepaje.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Zdaj lahko podamo prečiščeno formulacijo množenja.

Množenje je ponavljajoče se prištevanje k ničli (ali odštevanje od nič) množitelja (-7) tolikokrat, kot kaže množitelj. Faktor (3) in njegov predznak (+ ali -) označujeta število operacij za prištevanje k ničli ali odštevanje od ničle.

V skladu s to izpopolnjeno in nekoliko spremenjeno formulacijo množenja so "predznačna pravila" za množenje, ko je množitelj negativen, enostavno razložena.

7 * (-3) - za ničlo morajo biti trije znaki minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - spet morajo biti trije znaki minus za ničlo =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Množenje z nič

7 * 0 = 0 + ... ni operacij seštevanja z ničlo.

Če se pri množenju dodaja nič in množitelj prikazuje število operacij, ki dodajajo nič, potem množitelj nič kaže, da nič ni dodano nič. Zato ostaja nič.

Tako smo v obstoječi formulaciji množenja našli tri pomenske napake, ki blokirajo razumevanje dveh "pravil predznakov" (ko je množitelj negativen) in množenje števila z ničlo.

Množitelja ni potrebno dodati, ampak ga dodati ničli.
Množenje ni samo seštevanje na nič, ampak tudi odštevanje od nič.
Množitelj in njegov predznak ne kažeta števila členov, temveč število predznakov plus ali minus pri razgradnji množenja na člene (ali odštete).

Ko smo besedilo nekoliko razjasnili, nam je uspelo razložiti pravila predznakov pri množenju in množenje števila z nič brez pomoči komutativnega zakona množenja, brez distribucijskega zakona, brez uporabe analogij s številsko premico, brez enačb, brez dokazov o nasprotnem ipd.

Pravila znakov v skladu s prečiščeno formulacijo množenja so izpeljana zelo preprosto.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Množitelj in njegov znak (+3 ali -3) označujeta število znakov "+" ali "-" na desni strani enačbe.

Spremenjeno besedilo množenja ustreza operaciji dvigovanja števila na potenco.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (ena se ne pomnoži ali deli z ničemer, tako da ostane ena)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematiki se strinjajo, da je dvig števila na pozitivno potenco večkratno množenje ena. In povišanje števila na negativno potenco je večkratno deljenje ena.

Operacija množenja mora biti podobna operaciji potenciranja.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nič ni dodano nič in nič ni odšteto od nič)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Spremenjeno besedilo množenja v matematiki ne spreminja ničesar, vrača pa prvotni pomen operacije množenja, pojasnjuje »pravila predznakov«, množenje števila z ničlo ter usklajuje množenje s potenciranjem.

Preverimo, ali se naša formulacija množenja ujema z operacijo deljenja.

15: 5 = 3 (obratna operacija množenja 5 * 3 = 15)

Kvocient (3) ustreza številu operacij seštevanja na nič (+3) med množenjem.

Deljenje števila 15 s 5 pomeni ugotoviti, kolikokrat morate 5 odšteti od 15. To se naredi z zaporednim odštevanjem, dokler ne dobimo rezultata nič.

Če želite najti rezultat deljenja, morate prešteti število minusov. Trije so.

15: 5 = 3 operacije za odštevanje pet od 15, dokler ne dobimo nič.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (delitev 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (pomnožimo 5 * 3)

Deljenje z ostankom.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 in 2 ostanek

Če obstaja deljenje z ostankom, zakaj ne bi bilo množenja z dodatkom?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Ogledamo si razliko v besedilu na kalkulatorju

Obstoječa formulacija množenja (trije izrazi).

10 + 10 + 10 = 30

Popravljeno besedilo množenja (tri seštevalne operacije na ničlo).

0 + 10 = = = 30

(Trikrat kliknite »enako«.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Faktor 3 pomeni, da je treba množitelj 10 trikrat dodati ničli.

Poskusite pomnožiti (-10) * (-3) tako, da trikrat dodate člen (-10) minus!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Kaj pomeni znak minus za tri? Morda?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Produkta ni mogoče razstaviti na vsoto (ali razliko) členov (-10).

S spremenjenim besedilom je to storjeno pravilno.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj (-3) pomeni, da je treba množitelj (-10) trikrat odšteti od nič.

Pravila znaka za seštevanje in odštevanje

Zgoraj je bil prikazan preprost način za izpeljavo znakovnih pravil za množenje s spreminjanjem pomena formulacije za množenje.

Toda za izhod smo uporabili pravila predznakov pri seštevanju in odštevanju. So skoraj enaki kot pri množenju. Ustvarimo vizualizacijo pravil znakov za seštevanje in odštevanje, da jo bo razumel tudi prvošolec.

Kaj je "minus", "negativ"?

V naravi ni nič negativnega. Ni negativne temperature, ni negativne smeri, ni negativne mase, ni negativnih nabojev ... Tudi sinus je po svoji naravi lahko samo pozitiven.

Toda matematiki so prišli do negativnih števil. Za kaj? Kaj pomeni "minus"?

Minus pomeni nasprotno smer. Levo desno. Zgoraj spodaj. V smeri urinega kazalca - v nasprotni smeri urinega kazalca. Naprej in nazaj. Hladno - vroče. Lahka težka. Počasi - hitro. Če dobro razmislite, lahko navedete veliko drugih primerov, kjer je priročno uporabljati negativne vrednosti.

V svetu, ki ga poznamo, se neskončnost začne od nič in gre do plus neskončnosti.

"Minus neskončnost" v resničnem svetu ne obstaja. To je ista matematična konvencija kot koncept "minus".

Torej "minus" pomeni nasprotno smer: gibanje, vrtenje, proces, množenje, seštevanje. Analizirajmo različne smeri pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih (naraščajočih v drugo smer) števil.

Zapletenost razumevanja pravil znakov za seštevanje in odštevanje je posledica dejstva, da se ta pravila običajno poskušajo razložiti na številski premici. Na številski premici se mešajo tri različne komponente, iz katerih izhajajo pravila. In zaradi mešanja, zaradi odmetavanja različnih pojmov na en kup, se ustvarjajo težave z razumevanjem.

Da bi razumeli pravila, moramo ločiti:

prvi člen in vsota (bodo na vodoravni osi);
drugi člen (bo na navpični osi);
smer operacij seštevanja in odštevanja.

Ta delitev je jasno prikazana na sliki. Mentalno si predstavljajte, da se navpična os lahko vrti, prekrita z vodoravno osjo.

Operacija seštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v smeri urinega kazalca (znak plus). Operacija odštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v nasprotni smeri urnega kazalca (predznak minus).

Primer. Diagram v spodnjem desnem kotu.

Vidimo, da imata dva sosednja znaka minus (znak odštevalne operacije in znak števila 3) različna pomena. Prvi minus kaže smer odštevanja. Drugi minus je predznak števila na navpični osi.

Poiščite prvi člen (-2) na vodoravni osi. Poiščite drugi člen (-3) na navpični osi. Mentalno zavrtite navpično os v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler (-3) ne sovpada s številko (+1) na vodoravni osi. Število (+1) je rezultat seštevanja.

operacija odštevanja

daje enak rezultat kot operacija seštevanja v diagramu v zgornjem desnem kotu.

Zato lahko dva sosednja znaka "minus" nadomestimo z enim znakom "plus".

Vsi smo navajeni uporabljati že pripravljena aritmetična pravila, ne da bi razmišljali o njihovem pomenu. Zato pogosto niti ne opazimo, kako se pravila znakov pri seštevanju (odštevanju) razlikujejo od pravil znakov pri množenju (deljenju). Se zdi, da sta enaka? Skoraj ... Na naslednji sliki lahko vidite majhno razliko.

Zdaj imamo vse, kar potrebujemo za izpeljavo predznakovnih pravil za množenje. Izhodno zaporedje je naslednje.

Nazorno pokažemo, kako dobimo pravila znakov za seštevanje in odštevanje.
Pomensko spremenimo obstoječo formulacijo množenja.
Na podlagi spremenjenega besedila množenja in pravil znakov za seštevanje izpeljemo pravila znakov za množenje.

Opomba.

Spodaj so napisani pravilo znakov za seštevanje in odštevanje pridobljeno iz vizualizacije. In v rdeči barvi, za primerjavo, ista pravila znakov iz učbenika za matematiko. Sivi plus v oklepaju je nevidni plus, ki se ne piše za pozitivno število.

Med pojmi sta vedno dva znaka: znak operacije in znak števila (plus ne pišemo, ampak mislimo). Pravila znakov predpisujejo zamenjavo enega para znakov z drugim parom brez spreminjanja rezultata seštevanja (odštevanja). Pravzaprav obstajata samo dve pravili.

Pravili 1 in 3 (za vizualizacijo) - dvojnik pravil 4 in 2 .. Pravili 1 in 3 v šolski razlagi ne sovpadata z vizualno shemo, zato ne veljata za pravila znakov poleg tega. To so neka druga pravila...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Šolsko pravilo 1. (rdeča) omogoča zamenjavo dveh plusov zapored z enim plusom. Pravilo ne velja za zamenjavo predznakov pri seštevanju in odštevanju.

Šolsko pravilo 3. (rdeča barva) omogoča, da po operaciji odštevanja ne zapišete plusa za pozitivno število. Pravilo ne velja za zamenjavo predznakov pri seštevanju in odštevanju.

Pomen pravil seštevanja predznakov je zamenjava enega PARA predznakov z drugim PAR predznakov brez spremembe rezultata seštevanja.

Šolski metodologi so zmešali dve pravili v eno pravilo:

Pravila dveh predznakov za seštevanje in odštevanje pozitivnih in negativnih števil (zamenjava enega para predznakov z drugim parom predznakov);

Dve pravili, po katerih ne morete napisati znaka plus za pozitivno število.

Dve različni pravili, pomešani v eno, sta podobni pravilom predznakov pri množenju, kjer iz dveh predznakov sledi tretje. Videti kot ena proti ena.

Pa zmeden! Naredite isto še enkrat, za boljše razpletanje. Označimo operacijske znake z rdečo barvo, da jih ločimo od številskih znakov.

1. Seštevanje in odštevanje. Dve predznakovni pravili, po katerih se pari predznakov med členi izmenjujejo. Znak operacije in znak številke.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dve pravili, po katerih je dovoljeno, da znaka plus pozitivnega števila ne pišemo. To so pravila prijavnice. Ne velja za dodajanje. Pri pozitivnem številu se zapiše samo predznak operacije.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Štiri pravila predznakov pri množenju. Ko tretji znak zmnožka sledi iz dveh množilnih znakov. V pravilih znakov za množenje samo znaki števil.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Zdaj, ko smo ločili pravila zapisa, bi moralo biti jasno, da pravila znakov za seštevanje in odštevanje sploh niso podobna pravilom znakov za množenje.

V.Kozarenko

Šele od 7. stoletja našega štetja. negativna števila so bila v nekaterih sistemih štetja uporabljena kot pomožne vrednosti, kar je omogočilo pridobitev pozitivnega števila v odgovoru.

Kaj vidimo?

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.