क्षमता में परिवर्तन कैसे संबंधित है? ऊर्जा संरक्षण का नियम

प्रयोगशाला कार्य क्रमांक 3

विषय:"गुरुत्वाकर्षण और लोच के प्रभाव में शरीर की गति के दौरान यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण"

लक्ष्य: 1) स्थितिज ऊर्जा को मापना सीखेंशरीर जमीन से ऊपर उठा हुआ और प्रत्यास्थ रूप से विकृतस्प्रिंग्स;

2) दो मात्राओं की तुलना करें - स्प्रिंग के गिरने पर उससे जुड़े पिंड की स्थितिज ऊर्जा में कमी और खिंचे हुए स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि।

उपकरण और सामग्री: 1) 40 N/m की स्प्रिंग कठोरता वाला एक डायनेमोमीटर; 2) मापने वाला शासक; 3) यांत्रिकी सेट से वजन; भार का द्रव्यमान (0.100 ±0.002) किग्रा है; 4) अनुचर; 5) कपलिंग और पैर के साथ तिपाई।

मूल जानकारी।

यदि कोई शरीर कार्य करने में सक्षम है तो कहा जाता है कि उसमें ऊर्जा है।

शरीर की यांत्रिक ऊर्जा -यह एक अदिश राशि है जो दी गई शर्तों के तहत किए जा सकने वाले अधिकतम कार्य के बराबर है।

मनोनीत इऊर्जा की एसआई इकाई

गतिज ऊर्जा -यह किसी पिंड की गति के कारण उसकी ऊर्जा है।

किसी पिंड के द्रव्यमान के आधे गुणनफल और उसकी गति के वर्ग के बराबर भौतिक मात्रा कहलाती है गतिज ऊर्जाशरीर:

गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है। किसी पिंड की गतिज ऊर्जा एम, उस कार्य के बराबर गति से चलना जो किसी पिंड को यह गति प्रदान करने के लिए उस पर लगाए गए बल द्वारा किया जाना चाहिए:

गतिज ऊर्जा या गति की ऊर्जा के साथ, अवधारणा भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है संभावित ऊर्जाया निकायों के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा.

संभावित ऊर्जा– शरीर की ऊर्जा, परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों या एक शरीर के हिस्सों की सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होती है।

संभावित ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पिंड(जमीन से ऊपर उठे हुए पिंड की स्थितिज ऊर्जा)।

एपि = एमजीएच

यह शरीर को शून्य स्तर तक नीचे लाने पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर है।

एक विस्तारित (या संपीड़ित) स्प्रिंग अपने से जुड़े किसी पिंड को गति दे सकता है, अर्थात इस पिंड को गतिज ऊर्जा प्रदान कर सकता है। नतीजतन, ऐसे झरने में ऊर्जा का भंडार होता है। किसी स्प्रिंग (या किसी प्रत्यास्थ रूप से विकृत पिंड) की स्थितिज ऊर्जा की मात्रा होती है

जहां k स्प्रिंग की कठोरता है, x शरीर का पूर्ण बढ़ाव है।

प्रत्यास्थ रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा किसी दिए गए राज्य से शून्य विरूपण वाले राज्य में संक्रमण के दौरान लोचदार बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर है।

लोचदार विरूपण के दौरान संभावित ऊर्जा लोचदार बलों द्वारा शरीर के अलग-अलग हिस्सों की एक दूसरे के साथ बातचीत की ऊर्जा है।

यदि जो शरीर बनाते हैं बंद यांत्रिक प्रणाली, केवल गुरुत्वाकर्षण और लोच की शक्तियों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, तो इन बलों का कार्य निकायों की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, विपरीत संकेत के साथ लिया जाता है:

ए = -(ईपी2 - ईपी1).

गतिज ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, यह कार्य पिंडों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:

इसलिए एक2 - एक1 = -(ईपी2 - ईपी1) या एक1 + ईपी1 = एक2 + ईपी2।

उन पिंडों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं और गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, अपरिवर्तित रहता है।

यह कथन व्यक्त करता है ऊर्जा संरक्षण का नियम यांत्रिक प्रक्रियाओं में. यह न्यूटन के नियमों का परिणाम है।

योग E=Ek+Ep कहलाता है कुल यांत्रिक ऊर्जा.

केवल रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करने वाले निकायों की एक बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा इन निकायों के किसी भी आंदोलन के साथ नहीं बदलती है। केवल पिंडों की स्थितिज ऊर्जा का उनकी गतिज ऊर्जा में पारस्परिक परिवर्तन होता है, और इसके विपरीत, या एक पिंड से दूसरे पिंड में ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।

ई = एक + ईपी = कॉन्स्ट

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम तभी संतुष्ट होता है जब एक बंद प्रणाली में निकाय रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, यानी ऐसी ताकतें जिनके लिए संभावित ऊर्जा की अवधारणा पेश की जा सकती है।

वास्तविक परिस्थितियों में, गतिशील पिंडों पर गुरुत्वाकर्षण बलों, लोचदार बलों और अन्य रूढ़िवादी बलों के साथ-साथ घर्षण बलों या पर्यावरणीय प्रतिरोध बलों द्वारा लगभग हमेशा कार्रवाई की जाती है।

घर्षण बल रूढ़िवादी नहीं है. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य पथ की लंबाई पर निर्भर करता है।

यदि बंद प्रणाली बनाने वाले पिंडों के बीच घर्षण बल कार्य करते हैं, तो यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं होती है। यांत्रिक ऊर्जा का एक भाग पिंडों की आंतरिक ऊर्जा (हीटिंग) में परिवर्तित हो जाता है।

स्थापना का विवरण.

चित्र में दिखाए गए इंस्टॉलेशन का उपयोग ऑपरेशन के लिए किया जाता है। यह एक डायनेमोमीटर है जो एक तिपाई पर लॉक 1 के साथ लगा होता है।

डायनेमोमीटर स्प्रिंग एक हुक के साथ तार की छड़ के साथ समाप्त होता है। कुंडी (इसे बड़े पैमाने पर अलग से दिखाया गया है - संख्या 2 के साथ चिह्नित) कॉर्क की एक हल्की प्लेट है (आयाम 5 X 7 X 1.5 मिमी), इसके केंद्र में चाकू से काटा गया है। इसे डायनेमोमीटर की वायर रॉड पर लगाया जाता है। रिटेनर को रॉड के साथ थोड़ा घर्षण के साथ चलना चाहिए, लेकिन रिटेनर को अपने आप नीचे गिरने से रोकने के लिए अभी भी पर्याप्त घर्षण होना चाहिए। आपको काम शुरू करने से पहले यह सुनिश्चित करना होगा। ऐसा करने के लिए, सीमा ब्रैकेट पर स्केल के निचले किनारे पर कुंडी स्थापित की जाती है। फिर खींचें और छोड़ें।

तार की छड़ के साथ कुंडी ऊपर की ओर उठनी चाहिए, जो स्टॉप से ​​​​कुंडी तक की दूरी के बराबर, स्प्रिंग की अधिकतम लम्बाई को चिह्नित करती है।

यदि आप डायनेमोमीटर के हुक पर लटके हुए भार को उठाते हैं ताकि स्प्रिंग खिंचे नहीं, तो उदाहरण के लिए, टेबल की सतह के संबंध में भार की स्थितिज ऊर्जा बराबर होती है एमजीएच. जब कोई भार गिरता है (दूरी कम हो जाती है एक्स = एच) भार की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाएगी

ई 1 =एमजीएच

और इसके विरूपण के दौरान स्प्रिंग की ऊर्जा बढ़ जाती है

ई 2 =केएक्स 2 /2

कार्य - आदेश

1. मैकेनिक्स किट से वजन को डायनेमोमीटर के हुक पर मजबूती से रखें।

2. हाथ से वजन उठाएं, स्प्रिंग को उतारें, और ब्रैकेट के नीचे लॉक स्थापित करें।

3. भार छोड़ें. जैसे ही वजन गिरेगा, यह स्प्रिंग को खींचेगा। वजन हटाएँ और क्लैंप की स्थिति के आधार पर अधिकतम बढ़ाव मापने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। एक्सस्प्रिंग्स.

4. प्रयोग को पांच बार दोहराएं. h और x का औसत ज्ञात कीजिए

5. गणित करो ई 1एसआर =एमजीएचऔर ई 2ср =kx 2 /2

6. परिणाम तालिका में दर्ज करें:

2. हम मैनुअल के अनुसार गणना करते हैं।

ऊर्जा एक अदिश राशि है. ऊर्जा की SI इकाई जूल है।

गतिज और स्थितिज ऊर्जा

ऊर्जा दो प्रकार की होती है - गतिज और स्थितिज।

परिभाषा

गतिज ऊर्जा- यह वह ऊर्जा है जो किसी पिंड में उसकी गति के कारण होती है:

परिभाषा

संभावित ऊर्जावह ऊर्जा है जो पिंडों की सापेक्ष स्थिति के साथ-साथ इन पिंडों के बीच परस्पर क्रिया बलों की प्रकृति से निर्धारित होती है।

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा पृथ्वी के साथ किसी पिंड के गुरुत्वाकर्षण संपर्क के कारण होने वाली ऊर्जा है। यह पृथ्वी के सापेक्ष पिंड की स्थिति से निर्धारित होता है और पिंड को किसी दिए गए स्थान से शून्य स्तर तक ले जाने के कार्य के बराबर होता है:

संभावित ऊर्जा वह ऊर्जा है जो शरीर के अंगों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया के कारण उत्पन्न होती है। यह एक विकृत स्प्रिंग के तनाव (संपीड़न) में बाहरी बलों के कार्य के बराबर है:

एक पिंड में एक साथ गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं।

किसी पिंड या पिंडों के तंत्र की कुल यांत्रिक ऊर्जा पिंड (पिंडों के तंत्र) की गतिज और संभावित ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है:

ऊर्जा संरक्षण का नियम

निकायों की एक बंद प्रणाली के लिए, ऊर्जा संरक्षण का नियम मान्य है:

ऐसे मामले में जब किसी पिंड (या पिंडों की प्रणाली) पर बाहरी ताकतों द्वारा कार्रवाई की जाती है, उदाहरण के लिए, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम संतुष्ट नहीं होता है। इस मामले में, शरीर की कुल यांत्रिक ऊर्जा (निकायों की प्रणाली) में परिवर्तन बाहरी ताकतों के बराबर है:

ऊर्जा संरक्षण का नियम हमें पदार्थ की गति के विभिन्न रूपों के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है। जैसे, यह न केवल सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए, बल्कि सभी के लिए भी मान्य है। ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि प्रकृति में ऊर्जा को उसी प्रकार नष्ट नहीं किया जा सकता, जिस प्रकार इसे शून्य से निर्मित नहीं किया जा सकता।

अपने सबसे सामान्य रूप में, ऊर्जा संरक्षण का नियम इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

• प्रकृति में ऊर्जा न तो लुप्त होती है और न ही दोबारा बनती है, बल्कि केवल एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित होती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

परस्पर क्रिया करने वाले निकायों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा और इस ऊर्जा की उपस्थिति को निर्धारित करने वाले रूढ़िवादी बल के बीच एक बहुत ही निश्चित संबंध है। आइए यह संबंध स्थापित करें.

1. यदि अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर एक रूढ़िवादी बल किसी पिंड पर कार्य करता है, तो इसे अंदर कहा जाता है संभावित क्षेत्र.

2. जब इस क्षेत्र में पिंड की स्थिति बदलती है, तो पिंड की स्थितिज ऊर्जा बदल जाती है, जबकि रूढ़िवादी बल बहुत विशिष्ट मात्रा में कार्य करता है। आइए इस कार्य को सामान्य तरीके से व्यक्त करें।

हम मान लेंगे कि पिंड अनंत दूरी तक मनमाने ढंग से दिशा में चला गया है
(चित्र 25)। तब

कहाँ
- दिशा पर बल वेक्टर का प्रक्षेपण . लेकिन
(19.2)

भावों (19.1) और (19.2) के दाएँ पक्ष की बराबरी करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
, कहाँ
. (19.3)

दिशा के संबंध में संभावित ऊर्जा का व्युत्पन्न है ; यह मान दर्शाता है उस दिशा में स्थितिज ऊर्जा कितनी तेजी से बदलती है।

इस प्रकार, बल प्रक्षेपणएक मनमाना दिशा में परिमाण में बराबर और संकेत में विपरीत है इस दिशा में संभावित ऊर्जा का व्युत्पन्न।

आइये जानते हैं ऋण चिह्न का मतलब. यदि दिशा में स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है ( > 0), फिर (19.3) के अनुसार < 0. Это значит, что направление силыदिशा के साथ बनता है अधिक कोण, इसलिए, इस बल का घटक साथ में कार्य करता है , उल्टी दिशा . और इसके विपरीत, यदि < 0, то проекция> 0, बल के बीच का कोण और दिशा मसालेदार,सह

इस बल का घटक साथ में कार्य करता है , दिशा से मेल खाता है .

3. सामान्य स्थिति में, स्थितिज ऊर्जा न केवल दिशा में बदल सकती है , लेकिन किसी अन्य दिशा में भी। उदाहरण के लिए, हम परिवर्तनों पर विचार कर सकते हैं कुल्हाड़ियों के साथ ,
कार्तीय समन्वय प्रणाली।

तब
(19.4)

(आइकन इसका मतलब है कि लिया गया है निजीव्युत्पन्न)।

बल प्रक्षेपण को जानना
बल वेक्टर ढूंढना आसान है:

. (19.5)

(19.4) को ध्यान में रखते हुए हमारे पास होगा:

. (19.6)

संबंध के दाहिनी ओर के सदिश को (19.6) कहा जाता है ग्रेडियेंटमात्रा और नामित किया गया है
.

इस तरह,

= -
. (19.7)

किसी पिंड पर कार्य करने वाला रूढ़िवादी बल परिमाण में बराबर होता है और इस पिंड की संभावित ऊर्जा प्रवणता की दिशा में विपरीत होता है। संभावित ऊर्जा प्रवणता एक वेक्टर है जो संभावित ऊर्जा में सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करता है और संख्यात्मक रूप से इस दिशा की प्रति इकाई लंबाई में ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है।

शरीर को अंदर ले जाते समय दिशारूढ़िवादी बल की कार्रवाई किया जा रहा है अधिकतमकाम (तब से)
=1). लेकिन
. अतः बल की दिशा सबसे तेज़ की दिशा को इंगित करता है संभावित ऊर्जा में कमी.

20 क्षमता का चित्रमय प्रतिनिधित्व

1. स्थितिज ऊर्जा है समन्वय समारोह. कुछ साधारण मामलों में, यह केवल एक निर्देशांक पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए, पृथ्वी से ऊपर उठे हुए पिंड के मामले में)। केवल ऊंचाई पर निर्भर करता है ). किसी विशेष निर्देशांक पर सिस्टम की संभावित ऊर्जा की निर्भरता का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है ग्राफ़िक रूप से।

संबंधित निर्देशांक पर स्थितिज ऊर्जा की निर्भरता को दर्शाने वाला ग्राफ कहलाता है संभावित वक्र.

आइए संभावित संभावित वक्रों में से एक का विश्लेषण करें (चित्र 26)। वक्र (), चित्र में दिखाया गया है, दिखाता है कि कणों की एक प्रणाली की संभावित ऊर्जा कैसे बदलती है यदि कणों में से एक अक्ष के साथ चलता है , और बाकी सभी लोग अपने स्थान पर बने रहते हैं। ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु निर्धारित करना संभव बनाता है कण समन्वय के अनुरूप प्रणाली .

2. विभव वक्र की ढलान से कण पर संगत दिशा में कार्य करने वाले बल के परिमाण और दिशा का अंदाजा लगाया जा सकता है दिशानिर्देश. विचाराधीन दिशा पर इस बल के प्रक्षेपण का परिमाण और संकेत वक्र के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के परिमाण और चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है। उचित बिंदुओं पर; हमारे मामले में
, (20.1)

क्योंकि
.

इस प्रकार, से शीतकसंभावित वक्र जाता है, अधिक बल,कण पर संगत दिशा में कार्य करना। संभावित वक्र के आरोही खंडों पर, स्पर्शरेखा कोणों की स्पर्शरेखाएँ सकारात्मक होती हैं, इसलिए, बल का प्रक्षेपण होता है नकारात्मक।इसका अर्थ यह है कि बल जिस दिशा में कार्य कर रहा है इस अक्ष के अनुदिश, विपरीतइस अक्ष की दिशा में, बल कण को ​​सिस्टम से बाहर जाने से रोकता है (चित्र 26, बिंदु)। ).

संगत बिंदुओं पर नीचेसंभावित वक्र के अनुभाग, बल प्रक्षेपण सकारात्मक हैं, बल किसी कण की किसी दी गई दिशा (बिंदु) पर गति को बढ़ावा देता है ). जिन बिंदुओं पर
=0, बल कण (बिंदु) पर कार्य नहीं करता है ).

3. यदि, जब कणों में से एक को हटा दिया जाता है (किसी भी दिशा में), तो सिस्टम की संभावित ऊर्जा तेजी से बढ़ती है बढ़ती है(संभावित वक्र "ऊपर की ओर चढ़ता है"), फिर वे अस्तित्व के बारे में कहते हैं संभावित बाधा.वह बात करते है ऊंचाईबाधा और उसकी चौड़ाई के अनुसार

एसएच उनके स्थान. तो, यदि कण समन्वय के साथ एक बिंदु पर है (चित्र 26), तो इसकी स्थितिज ऊर्जा बराबर है
, इसके लिए संभावित अवरोध की ऊंचाई
, बाधा चौड़ाई
. यदि किसी कण के चयनित अक्ष की धनात्मक और ऋणात्मक दोनों दिशाओं में गति करते समय उसके मार्ग में एक संभावित अवरोध का सामना होता है, तो कहा जाता है कि कण अंदर है संभावित छेद. संभावित कुएं का आकार और गहराई अंतःक्रिया बलों की प्रकृति और सिस्टम के विन्यास पर निर्भर करती है।

4. आइए कुछ उदाहरण दें. चित्र 27 क्षमता दर्शाता है

पृथ्वी से ऊपर उठे हुए पिंड का अलल वक्र। जैसा कि ज्ञात है, ऐसे पिंड की स्थितिज ऊर्जा केवल एक निर्देशांक - ऊँचाई पर निर्भर करती है : = पी.

धुरी पर गुरुत्वाकर्षण का प्रक्षेपण के बराबर
.

जेड चिन्ह "माइनस" का अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण की दिशा अक्ष की दिशा के विपरीत है . चित्र 28 एक स्प्रिंग से जुड़े और दोलन कर रहे पिंड के संभावित वक्र को दर्शाता है। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, ऐसा शरीर सममित दीवारों वाले संभावित कुएं में स्थित है। इस पिंड की स्थितिज ऊर्जा और उस पर कार्य करने वाले बल का प्रक्षेपण क्रमशः बराबर है:

,
.

चित्र 29 में दिखाया गया वक्र किसी ठोस में परमाणुओं और अणुओं की परस्पर क्रिया की विशेषता है। इस वक्र की ख़ासियत यह है कि यह असममित है; इसका एक किनारा तीव्र है, दूसरा कोमल है।

अंत में, चित्र 30 में वक्र, पहले सन्निकटन के अनुसार, धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संभावित ऊर्जा को दर्शाता है। इस गड्ढे की दीवारें लगभग ऊर्ध्वाधर हैं। इसका मतलब यह है कि धातु सीमा पर इलेक्ट्रॉनों पर कार्य करने वाला बल बहुत बड़ा है।

जी कुएं के चिकने क्षैतिज तल का मतलब है कि धातु के अंदर इलेक्ट्रॉनों पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा है।

समस्याओं को सुलझाने के उदाहरण

उदाहरण 1। रेलवे कार के स्प्रिंग को 5 से संपीड़ित करने के लिए किए गए कार्य का निर्धारण करें सेमी,यदि प्रभाव में हो ताकत
स्प्रिंग को संपीड़ित किया जाता है

समाधान।स्प्रिंग के द्रव्यमान की उपेक्षा करते हुए, हम यह मान सकते हैं कि जब इसे संपीड़ित किया जाता है, तो केवल एक परिवर्तनीय दबाव बल कार्य करता है, जो हुक के नियम द्वारा निर्धारित लोचदार बल के परिमाण के बराबर होता है।
. जब स्प्रिंग को 5 से संपीड़ित किया जाता है तो इस बल द्वारा किया गया कार्य सेमीनिर्धारित करने की आवश्यकता है. छोटे आंदोलन पर भरोसा
स्थिर बल, हम प्राथमिक कार्य को इस प्रकार परिभाषित करते हैं

.

यहाँ स्प्रिंग कठोरता गुणांक है
.

का अभिन्न अंग लेकर हम सभी कार्य ढूंढ लेंगे
से लेकर एक्स 1 = 0 पहले

एक्स 2 = 5 सेमी।

गणना के बाद हमारे पास होगा

.

उदाहरण 2. हवाई जहाज़ का द्रव्यमान एम= 3 टीउड़ान भरने के लिए गति होनी चाहिए =360किमी/घंटाऔर टेक-ऑफ रन एस=600 एम।एक हवाई जहाज के उड़ान भरने के लिए आवश्यक न्यूनतम इंजन शक्ति क्या है? घर्षण गुणांक कजमीन पर पहिए 0.2 हैं। विमान के त्वरण के दौरान गति को समान रूप से त्वरित माना जाता है।

समाधान।समस्या के निर्धारण की आवश्यकता है तुरंतइंजन की शक्ति उड़ान भरने के क्षण मेंविमान। यह वह न्यूनतम शक्ति होगी जिस पर विमान अभी भी उड़ान भरने के लिए आवश्यक गति प्राप्त कर सकता है।

.

कर्षण बल
समीकरण से निर्धारित करें (गतिकी का दूसरा नियम)

हम समान रूप से प्रत्यावर्ती गति के समीकरण से त्वरण ज्ञात करते हैं
;

की गई टिप्पणियों को ध्यान में रखते हुए, न्यूनतम शक्ति है

.

उदाहरण 3.एक निश्चित क्षेत्र में जेट विमान की गति कानून के अनुसार दूरी के साथ बदलती रहती है
. समयावधि के भीतर नौकरी ढूंढें (
, यदि विमान द्रव्यमान एम. समय के एक क्षण में गति है

समाधान।आइए मान लें कि कार्य समय के क्षणों में गतिज ऊर्जा में अंतर के बराबर है और , अर्थात।
. समय के साथ गति परिवर्तन का नियम निर्धारित करना आवश्यक है। हवाई जहाज़ का त्वरण
कहाँ
. अंतिम अभिव्यक्ति के एकीकरण और पोटेंशिएशन के बाद, हम समय के क्षण में गति प्राप्त करते हैं के बराबर

इस प्रकार, एक निश्चित अवधि के लिए कार्य बराबर होता है

उदाहरण 4.शरीर का भार एम निरंतर पवन बल के प्रभाव में यह सीधी रेखा में चलता है, और समय पर तय की गई दूरी की निर्भरता कानून के अनुसार बदल जाती है
. से समय अंतराल में पवन बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए टी.

समाधान।शरीर के एक छोटे से विस्थापन के साथ पवन बल द्वारा किया गया कार्य बराबर होता है

, जहां हम विस्थापन को समय के संबंध में पथ के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं, अर्थात।
गतिकी के दूसरे नियम के अनुसार बल बराबर होता है

से अवधि तक कार्य पूर्ण करें टी के अभिन्न अंग के बराबर

उदाहरण 5.गेंद का द्रव्यमान
गति से चलता है
द्रव्यमान की एक गेंद की ओर
, गति से चल रहा है
. मान ज्ञात करें और एक बेलोचदार केंद्रीय प्रभाव के बाद गेंदों की प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन का कारण बताएं।

समाधान।प्रभाव से पहले गेंद प्रणाली की ऊर्जा

बेलोचदार टक्कर के बाद, गेंदें समान गति से चलेंगी यू, जिसे हम संवेग संरक्षण के नियम को लागू करके पाते हैं

प्रभाव के बाद गेंद प्रणाली की ऊर्जा

.

प्रभाव के बाद गतिज ऊर्जा का ह्रास

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विरूपण पर और अंततः गेंदों को गर्म करने पर खर्च किया जाता है:

उदाहरण 6.वाहन का वजन
, ट्रैक के क्षैतिज खंड के साथ गति से आगे बढ़ रहा है
, के बराबर शक्ति विकसित करता है
. ढलान के साथ ऊपर की ओर गाड़ी चलाते समय कार में कितनी शक्ति विकसित होनी चाहिए?
उसी गति से?

अवतरण की ढलान (झुकाव का कोण) निर्धारित करें जिसके साथ कार 30 की गति से चलेगी किमी/घंटा, इंजन बंद होने के साथ।

समाधान। 1)ऊपर की ओर गाड़ी चलाते समय कार की शक्ति कर्षण बल और गति की गति से निर्धारित होगी।

घर्षण बल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
, झुके हुए तल पर सामान्य दबाव बल कहां है
. यदि हम गति के पूरे पथ पर घर्षण के गुणांक को समान मानते हैं, तो क्षैतिज खंड पर यह बराबर है
. घर्षण बल संबंध से पाया जा सकता है (समान क्षैतिज गति के साथ)
, अर्थात।
और
. फिर झुके हुए तल पर घर्षण बल लगता है

रोलिंग बल है
. की गई टिप्पणियों को ध्यान में रखते हुए, ऊपर की ओर जाने वाली कार की शक्ति बराबर होगी

आइए समस्या डेटा को प्रतिस्थापित करें

2) इंजन बंद करके ढलान पर गाड़ी चलाते समय, कर्षण बल शून्य होता है। केवल रोलिंग बल ही कार्य करता है
और घर्षण बल
उनका निर्देश दिया

-
,

कहाँ

.

इस प्रकार, वंश का ढलान है
.

उदाहरण 7.एक भारी गेंद झुकी हुई नाली के साथ बिना घर्षण के फिसलती है, जिससे त्रिज्या का एक "डेड लूप" बनता है आर. गेंद को किस ऊंचाई से चलना शुरू करना चाहिए ताकि उसके प्रक्षेप पथ के शीर्ष बिंदु पर ढलान से दूर न हो जाए?

समाधान।एक वृत्त के अनुदिश किसी भौतिक बिंदु की गैर-समान रूप से परिवर्तनशील गति के बारे में एक समस्या दी गई है। इसके अलावा, आंदोलन के दौरान, ऊंचाई में शरीर की स्थिति बदल जाती है। ऐसी समस्याओं को ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करके और सामान्य की दिशा के लिए गतिशीलता के दूसरे नियम के अनुसार समीकरण बनाकर हल किया जाता है। चूँकि एक बंद प्रणाली के लिए ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है, हम इसे इस रूप में लिखते हैं
.

आइए हम गति की शुरुआत को गेंद की प्रारंभिक स्थिति के रूप में लें, और प्रक्षेपवक्र के शीर्ष बिंदु पर स्थिति को अंतिम स्थिति के रूप में लें। हम टेबल की सतह से ऊंचाई संदर्भ स्तर निर्धारित करते हैं।

प्रथम स्थान पर गेंद की ऊर्जा
, दूसरे स्थान पर
. इस तरह
, कहाँ

. (1)

निर्धारण हेतु एचआपको शीर्ष बिंदु पर गेंद की गति जानने की आवश्यकता है। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि लूप के शीर्ष बिंदु पर, सामान्य स्थिति में, दो बल गेंद पर नीचे की ओर कार्य करते हैं - गुरुत्वाकर्षण आरऔर समर्थन से प्रतिक्रिया बल एन. इन बलों के प्रभाव में, गेंद एक सर्कल में घूमती है, यानी।

पर्याप्त ऊँचाई से उतरते समय, गेंद इतनी गति प्राप्त कर लेती है कि लूप के प्रत्येक बिंदु पर वह कुछ बल के साथ शूट पर दबाव डालती है . न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, नाली गेंद पर समान बल से कार्य करती है एनविपरीत दिशा में और इसे त्रिज्या के एक वृत्त के चाप पर दबाता है आर.

जैसे-जैसे प्रारंभिक ऊँचाई घटती जाती है, गेंद की गति कम होती जाती है और एक निश्चित मान पर एचऐसा हो जाता है कि यह लूप के शीर्ष बिंदु से आगे निकल जाता है, केवल गटर को छूते हुए। ऐसे चरम मामले के लिए एन = 0 और गतिकी के दूसरे नियम का समीकरण रूप ले लेता है

या

कहाँ
(2)

(2) को (1) में प्रतिस्थापित करना और अंतिम समीकरण को हल करना एच, हम पाते हैं

स्व-परीक्षण प्रश्न.

1. ऊर्जा किसे कहते हैं? गतिज ऊर्जा क्या है? संभावित ऊर्जा क्या है?

2. काम क्या है? स्थिर एवं परिवर्तनशील बल द्वारा किये गये कार्य की गणना कैसे की जाती है?

3. शक्ति क्या है?

4. यांत्रिक कार्य और गतिज ऊर्जा के बीच क्या संबंध है?

5. सिद्ध कीजिए कि गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी बल है।

6. रूढ़िवादी बलों और स्थितिज ऊर्जा के कार्य के बीच क्या संबंध है?

7.शून्य स्थितिज ऊर्जा स्तर क्या है? वह बाहर कैसे निकलता है?

8. किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा और उस पर कार्य करने वाले संरक्षी बल के बीच क्या संबंध है?

9. संभावित कुआँ और संभावित अवरोध क्या है?

प्रयुक्त पुस्तकें

सेवलीव आई.वी. सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम: 3 खंडों में; विश्वविद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तक. खंड 1: यांत्रिकी। आणविक भौतिकी. /आई.वी. सेवलीव.-चौथा संस्करण। सेंट पीटर्सबर्ग: लैन, 2005।

ज़िसमैन जी.ए. सामान्य भौतिकी का पाठ्यक्रम। टी.1/जी.ए. ज़िसमैन, ओ.एम.टोड्स - एम.: नौका, 1972।

डेटलाफ ए.ए. भौतिकी पाठ्यक्रम: कॉलेजों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। /ए.ए. डेटलाफ, बी.एम. यावोर्स्की.-चौथा संस्करण, संशोधित।- एम.: हायर स्कूल, 2002.- 718 पी।

ट्रोफिमोवा टी.आई. भौतिकी पाठ्यक्रम: विश्वविद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तक। / टी.आई. ट्रोफिमोवा - 7वां संस्करण, स्टर। स्कूल, 2001.-541 पी.

चेरतोव ए.जी. भौतिकी में समस्या पुस्तक: कॉलेजों के लिए एक पाठ्यपुस्तक।/ए.जी.चेर्टोव, ए.ए.वोरोबिएव - 8वां संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: फ़िज़मैटलिट, 2006। - 640 पी।

"कार्रवाई" को निरूपित करना। आप एक ऊर्जावान व्यक्ति को बुला सकते हैं जो चलता है, कुछ कार्य करता है, सृजन कर सकता है, कार्य कर सकता है। लोगों द्वारा बनाई गई मशीनों, जीवित और मृत प्रकृति में भी ऊर्जा होती है। लेकिन ये आम जिंदगी में है. इसके अलावा, भौतिकी का सख्त विज्ञान है, जिसने कई प्रकार की ऊर्जा को परिभाषित और नामित किया है - विद्युत, चुंबकीय, परमाणु, आदि। हालांकि, अब हम संभावित ऊर्जा के बारे में बात करेंगे, जिसे गतिज से अलग नहीं माना जा सकता है।

गतिज ऊर्जा

यांत्रिकी की अवधारणाओं के अनुसार, यह ऊर्जा उन सभी निकायों के पास होती है जो एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। और इस मामले में हम निकायों की गति के बारे में बात कर रहे हैं।

संभावित ऊर्जा

A=Fs=Ft*h=mgh, या Ep=mgh, जहां:
ईपी - शरीर की संभावित ऊर्जा,
मी - शरीर का वजन,
h जमीन से ऊपर शरीर की ऊंचाई है,
g मुक्त गिरावट का त्वरण है।

स्थितिज ऊर्जा के दो प्रकार

संभावित ऊर्जा दो प्रकार की होती है:

1. पिंडों की सापेक्ष स्थिति में ऊर्जा। एक लटके हुए पत्थर में ऐसी ऊर्जा होती है। दिलचस्प बात यह है कि साधारण लकड़ी या कोयले में भी संभावित ऊर्जा होती है। उनमें अनॉक्सीकृत कार्बन होता है जो ऑक्सीकरण कर सकता है। सीधे शब्दों में कहें तो, जली हुई लकड़ी संभावित रूप से पानी को गर्म कर सकती है।

2. लोचदार विरूपण की ऊर्जा। यहां उदाहरणों में एक इलास्टिक बैंड, एक संपीड़ित स्प्रिंग, या एक "हड्डी-मांसपेशी-लिगामेंट" प्रणाली शामिल है।

संभावित और गतिज ऊर्जा परस्पर संबंधित हैं। वे एक-दूसरे में रूपांतरित हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक पत्थर ऊपर फेंकते हैं, तो शुरू में जब वह चलता है तो उसमें गतिज ऊर्जा होती है। जब यह एक निश्चित बिंदु पर पहुंचता है, तो यह एक पल के लिए स्थिर हो जाएगा और संभावित ऊर्जा प्राप्त करेगा, और फिर गुरुत्वाकर्षण इसे नीचे खींच लेगा और गतिज ऊर्जा फिर से उत्पन्न होगी।

निकायों के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा। शरीर में स्वयं स्थितिज ऊर्जा नहीं हो सकती। किसी पिंड पर दूसरे पिंड से लगने वाले बल द्वारा निर्धारित किया जाता है। चूँकि अंतःक्रिया करने वाले निकाय अधिकारों में समान हैं संभावित ऊर्जाकेवल परस्पर क्रिया करने वाले निकायों के पास है।

ए = एफ.एस = एमजी (ज 1 - ज 2).

अब एक झुके हुए तल पर किसी पिंड की गति पर विचार करें। जब कोई पिंड झुके हुए तल से नीचे की ओर जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है

ए = mgscosα.

चित्र से यह स्पष्ट है कि एसcosα = एच, इस तरह

ए = एमजीएच.

इससे पता चलता है कि गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य शरीर के प्रक्षेप पथ पर निर्भर नहीं करता है।

समानता ए = एमजी (ज 1 - ज 2) फॉर्म में लिखा जा सकता है ए = - (एमजीएच 2 - मिलीग्राम एच 1 ).

अर्थात्, किसी पिंड को द्रव्यमान के साथ गति करते समय गुरुत्वाकर्षण का कार्य एमबिंदु से ज 1बिल्कुल ज 2किसी भी प्रक्षेपवक्र के साथ कुछ भौतिक मात्रा में परिवर्तन के बराबर है एमजीएचविपरीत चिन्ह के साथ.

मान लें कि शरीर, जिस पर बल केंद्र O (चित्र 116) से रेडियल रूप से निर्देशित एक केंद्रीय बल द्वारा कार्य किया जाता है, एक निश्चित वक्र के साथ बिंदु 1 से बिंदु 2 तक जाता है। आइए पूरे पथ को छोटे-छोटे खंडों में विभाजित करें ताकि प्रत्येक खंड के भीतर बल को स्थिर माना जा सके। ऐसे सेक्शन में फोर्स का काम

लेकिन जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है। 116, बल केंद्र से खींची गई त्रिज्या वेक्टर की दिशा पर एक प्रारंभिक विस्थापन का प्रक्षेपण है: इस प्रकार, एक अलग खंड पर कार्य बल के उत्पाद और बल केंद्र की दूरी में परिवर्तन के बराबर है। सभी अनुभागों में कार्य को सारांशित करते हुए, हम आश्वस्त हैं कि किसी पिंड को बिंदु I से बिंदु 2 तक ले जाने पर क्षेत्र बलों का कार्य त्रिज्या के साथ बिंदु I से बिंदु 3 तक जाने के कार्य के बराबर है (चित्र 116)। इसलिए, यह कार्य केवल बल केंद्र से पिंड की प्रारंभिक और अंतिम दूरी से निर्धारित होता है और पथ के आकार पर निर्भर नहीं करता है, जो किसी भी केंद्रीय क्षेत्र की संभावित प्रकृति को साबित करता है।

चावल। 116. केन्द्रीय क्षेत्र बलों का कार्य

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा.क्षेत्र में एक निश्चित बिंदु पर किसी पिंड की संभावित ऊर्जा के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, किसी पिंड को इस बिंदु से दूसरे बिंदु पर ले जाने पर किए गए कार्य की गणना करना आवश्यक है, जिस पर संभावित ऊर्जा शून्य मानी जाती है। आइए हम केंद्रीय क्षेत्रों के कुछ महत्वपूर्ण मामलों में संभावित ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति प्रस्तुत करें।

बिंदु द्रव्यमान और एम या द्रव्यमान के गोलाकार सममित वितरण वाले पिंडों के गुरुत्वाकर्षण संपर्क की संभावित ऊर्जा, जिनके केंद्र एक दूसरे से दूरी पर स्थित हैं, अभिव्यक्ति द्वारा दी गई है

बेशक, इस ऊर्जा को द्रव्यमान M के पिंड द्वारा बनाए गए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में द्रव्यमान के पिंड की संभावित ऊर्जा के रूप में भी कहा जा सकता है। अभिव्यक्ति (5) में, संभावित ऊर्जा को अनंत रूप से बड़ी दूरी पर शून्य के बराबर लिया जाता है परस्पर क्रिया करने वाले निकायों के बीच: पर

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी द्रव्यमान के पिंड की संभावित ऊर्जा के लिए, § 23 से संबंध (7) को ध्यान में रखते हुए सूत्र (5) को संशोधित करना और संभावित ऊर्जा को गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के संदर्भ में व्यक्त करना सुविधाजनक है। पृथ्वी की सतह और पृथ्वी की त्रिज्या

यदि पृथ्वी की सतह से ऊपर पिंड की ऊँचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में छोटी है, तो इसे रूप में प्रतिस्थापित करके और अनुमानित सूत्र का उपयोग करके, हम सूत्र (6) को निम्नानुसार रूपांतरित कर सकते हैं:

(7) के दाईं ओर का पहला पद छोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह स्थिर है, यानी, शरीर की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। तब (7) के स्थान पर हमारे पास है

जो एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए "सपाट" पृथ्वी सन्निकटन में प्राप्त सूत्र (3) से मेल खाता है। हालाँकि, हम इस बात पर जोर देते हैं कि (6) या (7) के विपरीत, सूत्र (8) में संभावित ऊर्जा को पृथ्वी की सतह से मापा जाता है।

कार्य

1. पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा। पृथ्वी की सतह पर और पृथ्वी से असीम रूप से बड़ी दूरी पर किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा क्या है, यदि हम इसे पृथ्वी के केंद्र पर शून्य के बराबर मानते हैं?

समाधान। पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड की संभावित ऊर्जा का पता लगाने के लिए, बशर्ते कि यह पृथ्वी के केंद्र पर शून्य के बराबर हो, आपको किसी पिंड को सतह से मानसिक रूप से स्थानांतरित करते समय गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करने की आवश्यकता है। पृथ्वी अपने केंद्र में. जैसा कि पहले पाया गया था (सूत्र (10) §23 देखें), पृथ्वी की गहराई में स्थित किसी पिंड पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र से उसकी दूरी के समानुपाती होता है, यदि हम पृथ्वी को एक सजातीय मानते हैं हर जगह समान घनत्व वाली गेंद:

कार्य की गणना करने के लिए हम पृथ्वी की सतह से उसके केंद्र तक के पूरे पथ को छोटे-छोटे खंडों में विभाजित करते हैं, जिन पर लगने वाले बल को स्थिर माना जा सकता है। एक अलग छोटे क्षेत्र पर कार्य को एक संकीर्ण छायांकित पट्टी के क्षेत्र द्वारा बल बनाम दूरी (छवि 117) के ग्राफ पर दर्शाया गया है। यह कार्य सकारात्मक है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण और विस्थापन की दिशाएँ मेल खाती हैं। जाहिर तौर पर पूरा काम

आधार और ऊँचाई वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल द्वारा दर्शाया गया है

पृथ्वी की सतह पर स्थितिज ऊर्जा का मान सूत्र (9) द्वारा दिये गये कार्य के बराबर है:

पृथ्वी से असीम रूप से बड़ी दूरी पर संभावित ऊर्जा का मूल्य खोजने के लिए, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनंत और पृथ्वी की सतह पर संभावित ऊर्जा के बीच का अंतर (6) के अनुसार बराबर है, और करता है इस पर निर्भर नहीं है कि शून्य स्थितिज ऊर्जा कहाँ चुनी गई है। यह वह मान है जिसे अनंत पर वांछित मान प्राप्त करने के लिए सतह पर संभावित ऊर्जा के मान (10) में जोड़ने की आवश्यकता है:

2. संभावित ऊर्जा ग्राफ। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड को एक समान गोला मानकर उसकी स्थितिज ऊर्जा का एक ग्राफ बनाएं।

समाधान। निश्चितता के लिए, आइए हम पृथ्वी के केंद्र पर स्थितिज ऊर्जा का मान शून्य के बराबर लें।

चावल। 117. स्थितिज ऊर्जा की गणना के लिए

चावल। 118. संभावित ऊर्जा ग्राफ

पृथ्वी के केंद्र से दूरी पर स्थित किसी भी आंतरिक बिंदु के लिए, संभावित ऊर्जा की गणना पिछली समस्या की तरह ही की जाती है: जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 117, यह आधार और ऊंचाई वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है।

संभावित ऊर्जा का एक ग्राफ बनाने के लिए जहां बल दूरी के वर्ग के विपरीत अनुपात में घटता है (चित्र 117), आपको सूत्र (6) का उपयोग करना चाहिए। लेकिन चुनाव के अनुसार संभावित ऊर्जा के संदर्भ बिंदु का मान दिया जाता है

मूला (6), इसलिए एक स्थिर मान जोड़ा जाना चाहिए

पूरा ग्राफ़ पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह तक के क्षेत्र में दिखाया गया है, यह एक परवलय (12) के एक खंड का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका न्यूनतम भाग इस निर्भरता पर स्थित है जिसे कभी-कभी "द्विघात संभावित कुँआ" कहा जाता है। पृथ्वी की सतह से अनंत तक के खंड पर, ग्राफ़ एक हाइपरबोला (13) का एक खंड है। परवलय और अतिपरवलय के ये खंड बिना किसी रुकावट के आसानी से एक दूसरे में चले जाते हैं। ग्राफ़ का क्रम इस तथ्य से मेल खाता है कि आकर्षक बलों के मामले में, बढ़ती दूरी के साथ संभावित ऊर्जा बढ़ती है।

लोचदार विरूपण की ऊर्जा.संभावित बलों में निकायों के लोचदार विरूपण के दौरान उत्पन्न होने वाले बल भी शामिल हैं। हुक के नियम के अनुसार, ये बल विरूपण के समानुपाती होते हैं। इसलिए, लोचदार विरूपण की संभावित ऊर्जा विरूपण पर द्विघात रूप से निर्भर करती है। यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है यदि हम मानते हैं कि यहां संतुलन स्थिति से विस्थापन पर बल की निर्भरता एक सजातीय विशाल गेंद के अंदर किसी पिंड पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के समान है। उदाहरण के लिए, एक लोचदार स्प्रिंग को खींचते या संपीड़ित करते समय, कठोरता k, जब अभिनय बल, संभावित ऊर्जा अभिव्यक्ति द्वारा दी जाती है

यहां यह माना गया है कि संतुलन स्थिति में स्थितिज ऊर्जा शून्य है।

बल क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा का एक निश्चित मान होता है। इसलिए, यह इस क्षेत्र की विशेषता के रूप में काम कर सकता है। इस प्रकार, प्रत्येक बिंदु पर बल या संभावित ऊर्जा के मूल्य को निर्दिष्ट करके एक बल क्षेत्र का वर्णन किया जा सकता है। संभावित बल क्षेत्र का वर्णन करने के ये तरीके समतुल्य हैं।

बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध.आइए हम वर्णन के इन दो तरीकों के बीच संबंध स्थापित करें, यानी बल और संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बीच सामान्य संबंध। आइए क्षेत्र के दो करीबी बिंदुओं के बीच एक पिंड की गति पर विचार करें। इस आंदोलन के दौरान मैदानी बलों द्वारा किया गया कार्य बराबर है। दूसरी ओर, यह कार्य गति के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर संभावित ऊर्जा के मूल्यों के बीच अंतर के बराबर है, अर्थात, विपरीत संकेत के साथ ली गई संभावित ऊर्जा में परिवर्तन। इसीलिए

इस संबंध के बाईं ओर को गति की दिशा और इस गति के मापांक पर बल के प्रक्षेपण के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है

एक मनमाना दिशा पर एक संभावित बल का प्रक्षेपण, इस दिशा के साथ छोटे विस्थापन के साथ संभावित ऊर्जा में परिवर्तन और विस्थापन मापांक के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है।

समविभव सतहें.संभावित क्षेत्र का वर्णन करने के दोनों तरीकों की तुलना दृश्य ज्यामितीय छवियों से की जा सकती है - बल रेखाओं या समविभव सतहों की तस्वीरें। किसी बल क्षेत्र में किसी कण की स्थितिज ऊर्जा उसके निर्देशांकों का एक फलन है। एक स्थिर मान के बराबर होने पर, हम एक सतह का समीकरण प्राप्त करते हैं जिसके सभी बिंदुओं पर स्थितिज ऊर्जा का मान समान होता है। समान संभावित ऊर्जा की ये सतहें, जिन्हें समविभव कहा जाता है, एक बल क्षेत्र की स्पष्ट तस्वीर प्रदान करती हैं।

प्रत्येक बिंदु पर बल इस बिंदु से गुजरने वाली समविभव सतह के लंबवत निर्देशित होता है। सूत्र (15) का उपयोग करके इसे देखना आसान है। वास्तव में, आइए हम स्थिर ऊर्जा की सतह पर गति चुनें। फिर, इसलिए, सतह पर बल का प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, उदाहरण के लिए, गोलाकार सममित द्रव्यमान वितरण के साथ द्रव्यमान एम के एक शरीर द्वारा बनाए गए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, द्रव्यमान के शरीर की संभावित ऊर्जा दी गई है। अभिव्यक्ति के अनुसार ऐसे क्षेत्र की निरंतर ऊर्जा सतहें गोले होती हैं जिनके केंद्र बल केंद्र के साथ मेल खाते हैं।

द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल समविभव सतह के लंबवत होता है और बल केंद्र की ओर निर्देशित होता है। बल केंद्र से खींची गई त्रिज्या पर इस बल का प्रक्षेपण सूत्र (15) का उपयोग करके संभावित ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति (5) से पाया जा सकता है:

क्या दिया

प्राप्त परिणाम बिना प्रमाण (5) के ऊपर दी गई स्थितिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति की पुष्टि करता है।

ऊबड़-खाबड़ इलाके के उदाहरण से समान संभावित ऊर्जा मूल्यों की सतहों का एक दृश्य प्रतिनिधित्व तैयार किया जा सकता है

इलाक़ा. पृथ्वी की सतह पर समान क्षैतिज स्तर पर स्थित बिंदु गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की संभावित ऊर्जा के समान मूल्यों के अनुरूप हैं। ये बिंदु सतत रेखाएँ बनाते हैं। स्थलाकृतिक मानचित्रों पर ऐसी रेखाओं को समोच्च रेखाएँ कहा जाता है। क्षैतिज रेखाओं के साथ राहत की सभी विशेषताओं को पुनर्स्थापित करना आसान है: पहाड़ियाँ, अवसाद, काठी। खड़ी ढलानों पर क्षैतिज रेखाएँ कोमल ढलानों की तुलना में सघन और एक-दूसरे के करीब होती हैं। इस उदाहरण में, संभावित ऊर्जा के समान मान रेखाओं से मेल खाते हैं, सतहों से नहीं, क्योंकि यहां हम एक बल क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं, जहां संभावित ऊर्जा दो निर्देशांकों पर निर्भर करती है (और तीन पर नहीं)।

संभावित और गैर-संभावित बलों के बीच अंतर स्पष्ट करें।

संभावित ऊर्जा क्या है? किस बल क्षेत्र को विभव कहा जाता है?

पृथ्वी के एकसमान क्षेत्र में गुरुत्वाकर्षण के कार्य के लिए अभिव्यक्ति (2) प्राप्त करें।

संभावित ऊर्जा की अस्पष्टता का कारण क्या है और इस अस्पष्टता का भौतिक परिणामों पर कोई प्रभाव क्यों नहीं पड़ता है?

साबित करें कि संभावित बल क्षेत्र में, जहां किन्हीं दो बिंदुओं के बीच किसी पिंड को ले जाने पर किया गया कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है, जब पिंड किसी बंद पथ पर चलता है तो किया गया कार्य शून्य होता है।

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति (6) प्राप्त करें। यह फॉर्मूला कब मान्य है?

पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा सतह से ऊपर की ऊंचाई पर कैसे निर्भर करती है? उन मामलों पर विचार करें जहां ऊंचाई छोटी है और जब यह पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर है।

संभावित ऊर्जा बनाम दूरी के ग्राफ पर उस क्षेत्र को इंगित करें जहां रैखिक सन्निकटन (7) मान्य है।

स्थितिज ऊर्जा के सूत्र की व्युत्पत्ति।केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में संभावित ऊर्जा के लिए सूत्र (5) प्राप्त करने के लिए, जब द्रव्यमान का एक पिंड मानसिक रूप से एक दिए गए बिंदु से अनंत बिंदु पर ले जाया जाता है, तो क्षेत्र बलों के कार्य की गणना करना आवश्यक है। सूत्र (4) 31 के अनुसार कार्य उस प्रक्षेपवक्र के साथ बल के अभिन्न अंग द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसके साथ शरीर चलता है। चूँकि यह कार्य प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए अभिन्न की गणना हमारे लिए रुचि के बिंदु से गुजरने वाले त्रिज्या के साथ आगे बढ़ने के लिए की जा सकती है;

1. आपको 7वीं कक्षा के भौतिकी पाठ्यक्रम में ऊर्जा की अवधारणा से परिचित कराया गया था। आइए उसे याद करें. मान लीजिए कि कोई वस्तु, उदाहरण के लिए एक गाड़ी, एक झुके हुए तल पर फिसलती है और उसके आधार पर पड़े एक ब्लॉक को हिलाती है। उनका कहना है कि गाड़ी तो चलती है. दरअसल, यह एक निश्चित लोचदार बल के साथ ब्लॉक पर कार्य करता है और ब्लॉक चलता है।

एक और उदाहरण। एक निश्चित गति से चल रही कार का ड्राइवर ब्रेक दबाता है और कुछ देर बाद कार रुक जाती है। ऐसे में कार घर्षण बल के विरुद्ध भी कार्य करती है।

वे कहते हैं कि यदि कोई शरीर कार्य कर सकता है, तो उसमें ऊर्जा है.

ऊर्जा को अक्षर से दर्शाया जाता है इ. ऊर्जा की SI इकाई है जौल (1 जे).

2. यांत्रिक ऊर्जा दो प्रकार की होती है - स्थितिज और गतिज।

संभावित ऊर्जा किसी पिंड या उसके भागों के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा है, जो उनकी सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है।

सभी परस्पर क्रिया करने वाले निकायों में स्थितिज ऊर्जा होती है। तो, कोई भी पिंड पृथ्वी के साथ संपर्क करता है, इसलिए, पिंड और पृथ्वी में स्थितिज ऊर्जा होती है। पिंड बनाने वाले कण एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया भी करते हैं और उनमें स्थितिज ऊर्जा भी होती है।

चूँकि स्थितिज ऊर्जा अंतःक्रिया की ऊर्जा है, यह किसी एक पिंड को नहीं, बल्कि अंतःक्रिया करने वाले पिंडों की एक प्रणाली को संदर्भित करती है। ऐसे मामले में जब हम पृथ्वी से ऊपर उठे हुए पिंड की संभावित ऊर्जा के बारे में बात करते हैं, तो प्रणाली में पृथ्वी और उसके ऊपर उठा हुआ पिंड शामिल होता है।

3. आइए जानें कि पृथ्वी से ऊपर उठे किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा क्या है। ऐसा करने के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण के कार्य और शरीर की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बीच संबंध ढूंढेंगे।

शरीर में द्रव्यमान हो एमऊंचाई से गिरता है एच 1 से ऊंचाई एच 2 (चित्र 72)। इस स्थिति में, शरीर का विस्थापन बराबर होता है एच = एच 1 – एच 2. इस क्षेत्र में गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य बराबर होगा:

ए = एफरस्सी एच = एमजीएच = एमजी(एच 1 – एच 2), या
ए = एमजीएच 1 – एमजीएच 2 .

परिमाण एमजीएच 1 = इ n1 पिंड की प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है और प्रारंभिक स्थिति में इसकी संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, एमजीएच 2 = इ n2 पिंड की अंतिम स्थिति में स्थितिज ऊर्जा है। सूत्र को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

ए = इपी1 - इ n2 = –( इपी2 - इपी1).

जब किसी पिंड की स्थिति बदलती है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बदल जाती है। इस प्रकार,

गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य शरीर की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है।

ऋण चिह्न का अर्थ है कि जब कोई पिंड गिरता है, तो गुरुत्वाकर्षण सकारात्मक कार्य करता है, और पिंड की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। यदि कोई पिंड ऊपर की ओर बढ़ता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल नकारात्मक कार्य करता है, और पिंड की स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।

4. किसी पिंड की संभावित ऊर्जा का निर्धारण करते समय, उस स्तर को इंगित करना आवश्यक है जिसके सापेक्ष इसे मापा जाता है, कहा जाता है शून्य स्तर.

इस प्रकार, वॉलीबॉल नेट पर उड़ने वाली गेंद की संभावित ऊर्जा का नेट के सापेक्ष एक मान होता है, लेकिन जिम के फर्श के सापेक्ष दूसरा मान होता है। यह महत्वपूर्ण है कि दो बिंदुओं पर शरीर की संभावित ऊर्जाओं में अंतर चयनित शून्य स्तर पर निर्भर न हो। इसका मतलब यह है कि शरीर की स्थितिज ऊर्जा के कारण किया गया कार्य शून्य स्तर के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

संभावित ऊर्जा का निर्धारण करते समय, पृथ्वी की सतह को अक्सर शून्य स्तर के रूप में लिया जाता है। यदि कोई पिंड एक निश्चित ऊंचाई से पृथ्वी की सतह पर गिरता है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य संभावित ऊर्जा के बराबर होता है: ए = एमजीएच.

इस तरह, शून्य स्तर से ऊपर एक निश्चित ऊंचाई तक उठाए गए पिंड की संभावित ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है जब शरीर इस ऊंचाई से शून्य स्तर पर गिरता है।

5. किसी भी विकृत पिंड में स्थितिज ऊर्जा होती है। जब किसी पिंड को दबाया या खींचा जाता है, तो वह विकृत हो जाता है, उसके कणों के बीच परस्पर क्रिया बल बदल जाते हैं और एक लोचदार बल उत्पन्न होता है।

मान लीजिए कि स्प्रिंग का दायाँ सिरा (चित्र 68 देखें) निर्देशांक D वाले बिंदु से आगे बढ़ता है एलनिर्देशांक D के साथ बिंदु पर 1 एल 2. याद रखें कि लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य बराबर है:

ए =– .

मान = इ n1 विकृत शरीर की पहली अवस्था को दर्शाता है और पहली अवस्था में इसकी संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, मान = इ n2 विकृत शरीर की दूसरी अवस्था को दर्शाता है और दूसरी अवस्था में इसकी संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। आप लिख सकते हो:

ए = –(इपी2 - इपी1), यानी

लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है।

ऋण चिह्न दर्शाता है कि प्रत्यास्थ बल द्वारा किए गए सकारात्मक कार्य के परिणामस्वरूप शरीर की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। जब किसी पिंड को किसी बाहरी बल के प्रभाव में दबाया या खींचा जाता है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है और लोचदार बल नकारात्मक कार्य करता है।

स्व-परीक्षण प्रश्न

1. हम कब कह सकते हैं कि शरीर में ऊर्जा है? ऊर्जा की इकाई क्या है?

2. स्थितिज ऊर्जा किसे कहते हैं?

3. पृथ्वी से ऊपर उठे किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा की गणना कैसे करें?

4. क्या पृथ्वी से ऊपर उठे किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा शून्य स्तर पर निर्भर करती है?

5. प्रत्यास्थ रूप से विकृत पिंड की स्थितिज ऊर्जा की गणना कैसे करें?

कार्य 19

1. फर्श के सापेक्ष 0.5 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक शेल्फ से 2 किलोग्राम वजन वाले आटे के बैग को फर्श के सापेक्ष 0.75 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक मेज पर स्थानांतरित करने के लिए कितना काम करना होगा? फर्श के सापेक्ष, शेल्फ पर पड़े आटे के एक बैग की स्थितिज ऊर्जा और मेज पर होने पर इसकी स्थितिज ऊर्जा क्या है?

2. 4 kN/m की कठोरता वाले स्प्रिंग को अवस्था में बदलने के लिए क्या कार्य करना होगा? 1 , इसे 2 सेमी तक फैलाएं? राज्य में बहार लाने के लिए क्या अतिरिक्त कार्य किया जाना चाहिए? 2 , इसे एक और 1 सेमी खींच रहा हूँ? स्प्रिंग को अवस्था में स्थानांतरित करने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है? 1 और राज्य से 1 किसी राज्य में 2 ? राज्य में झरने की स्थितिज ऊर्जा कितनी है? 1 और सक्षम 2 ?

3. चित्र 73 गेंद की ऊंचाई पर गेंद पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है। ग्राफ का उपयोग करके, 1.5 मीटर की ऊंचाई पर गेंद की संभावित ऊर्जा की गणना करें।

4. चित्र 74 एक स्प्रिंग के बढ़ाव बनाम उस पर लगने वाले बल का एक ग्राफ दिखाता है। जब स्प्रिंग को 4 सेमी बढ़ाया जाता है तो इसकी स्थितिज ऊर्जा क्या होती है?