प्राकृतिक संख्याओं, साधारण और दशमलव अंशों को गुणा करने की क्षमता को मजबूत करना;

धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना सीखें;

समूहों में कार्य करने की क्षमता विकसित करें,

गणित में जिज्ञासा और रुचि विकसित करें; किसी विषय पर सोचने और बोलने की क्षमता।

उपकरण: थर्मामीटर और घरों के मॉडल, मानसिक गणना और परीक्षण कार्य के लिए कार्ड, गुणन के लिए संकेतों के नियमों वाला एक पोस्टर।

प्रेरणा

अध्यापक . आज हम एक नये विषय का अध्ययन प्रारम्भ कर रहे हैं। यह ऐसा है जैसे हम एक नया घर बनाने जा रहे हैं। मुझे बताओ, एक घर की मजबूती किस पर निर्भर करती है?

अब आइए देखें कि हमारी नींव क्या है, यानी हमारे ज्ञान की ताकत क्या है। मैंने आपको पाठ का विषय नहीं बताया। यह एन्कोडेड है, यानी मानसिक गणना के कार्य में छिपा हुआ है। सावधान और चौकस रहें. यहां उदाहरण सहित कार्ड दिए गए हैं. इन्हें हल करने और उत्तर को अक्षर से मिलाने पर आपको पाठ के विषय का नाम पता चल जाएगा।

अध्यापक। तो यह शब्द है "गुणा"। लेकिन हम गुणन से पहले से ही परिचित हैं। और हमें इसका अध्ययन क्यों करना चाहिए? आप हाल ही में किन संख्याओं से परिचित हुए हैं?

[सकारात्मक और नकारात्मक के साथ।]

क्या हम जानते हैं कि उन्हें कैसे गुणा किया जाए? इसलिए, पाठ का विषय होगा "धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का गुणा करना।"

आपने उदाहरणों को शीघ्रतापूर्वक और सही ढंग से हल किया। एक अच्छी नींव रखी गई है. ( एक मॉडल हाउस पर शिक्षक « देता है» नींव.) मुझे लगता है घर टिकाऊ होगा.

एक नया विषय सीखना

अध्यापक . अब हम दीवारें बनाएंगे. वे फर्श और छत यानी पुरानी थीम को नई थीम से जोड़ते हैं। अब आप समूह में काम करेंगे. प्रत्येक समूह को मिलकर हल करने के लिए एक समस्या दी जाएगी और फिर कक्षा को समाधान समझाया जाएगा।

पहला समूह

हवा का तापमान हर घंटे 2° गिर जाता है। अब थर्मामीटर शून्य डिग्री दिखाता है. 3 घंटे के बाद यह कौन सा तापमान दिखाएगा?

समूह निर्णय. चूँकि अभी तापमान 0 है और हर घंटे तापमान 2° गिरता है, तो जाहिर है कि 3 घंटे बाद तापमान -6° हो जाएगा। आइए तापमान में गिरावट -2° और समय +3 घंटे को निरूपित करें। तब हम मान सकते हैं कि (-2)·3 = -6.

अध्यापक . यदि मैं गुणनखंडों, अर्थात् 3·(-2) को पुनर्व्यवस्थित करूं तो क्या होगा?

छात्र. उत्तर वही है: -6, क्योंकि गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग किया जाता है।

हवा का तापमान हर घंटे 2° गिर जाता है। अब थर्मामीटर शून्य डिग्री दिखाता है. 3 घंटे पहले थर्मामीटर ने कौन सा हवा का तापमान दिखाया?

समूह निर्णय. चूंकि तापमान हर घंटे 2° गिरता है, और अब यह 0 है, तो जाहिर है कि 3 घंटे पहले यह +6° था। आइए तापमान में गिरावट को -2° और बीते हुए समय को -3 घंटे के रूप में निरूपित करें। तब हम मान सकते हैं कि (-2)·(-3) = 6.

अध्यापक . आप अभी तक नहीं जानते कि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाए। लेकिन उन्होंने उन समस्याओं को हल किया जहां ऐसी संख्याओं को गुणा करना आवश्यक था। धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं या दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें। ( छात्र एक नियम प्राप्त करने का प्रयास करते हैं।) अच्छा। आइए अब अपनी पाठ्यपुस्तकें खोलें और धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम पढ़ें। अपने नियम की तुलना पाठ्यपुस्तक में लिखी बातों से करें।

नियम 1।दो संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद के सामने "-" चिन्ह लगाना होगा।

नियम 2. दो संख्याओं को समान चिह्नों से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के निरपेक्ष मानों को गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद के सामने "+" चिह्न लगाना होगा।

अध्यापक। जैसा कि आपने नींव बनाते समय देखा, आपको प्राकृतिक और भिन्नात्मक संख्याओं को गुणा करने में कोई समस्या नहीं होती है। धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते समय समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। क्यों?

याद करना! धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते समय:

1) चिन्ह निर्धारित करें;
2) मॉड्यूलि का उत्पाद खोजें।

अध्यापक . गुणन चिन्हों के अपने स्मरणीय नियम होते हैं जिन्हें याद रखना बहुत आसान होता है। इन्हें संक्षेप में इस प्रकार तैयार किया गया है:

"+"·"+" = "+" - प्लस पर प्लस एक प्लस देता है;
"-"·"+" = "-" - माइनस प्लस प्लस माइनस देता है;
"+"·"–" = "–" - प्लस प्लस माइनस माइनस देता है;
"-"·"-" = "+" - शून्य से शून्य एक प्लस देता है।

(छात्र अपनी नोटबुक में संकेतों के नियम लिखते हैं।)

अध्यापक . यदि हम स्वयं को और अपने मित्रों को सकारात्मक और अपने शत्रुओं को नकारात्मक मानते हैं, तो हम यह कह सकते हैं:

मेरे दोस्त का दोस्त मेरा दोस्त है.
मेरे दोस्त का दुश्मन मेरा दुश्मन है.
मेरे दुश्मन का दोस्त मेरा दुश्मन है.
दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।

जो सीखा गया है उसकी प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग

बोर्ड पर मौखिक समाधान के उदाहरण हैं। छात्र नियम का पाठ करते हैं:

अध्यापक . सब साफ? कोई सवाल नहीं? इस प्रकार दीवारें बनाई जाती हैं। ( शिक्षक दीवारें खड़ी करता है.) अब हम क्या बना रहे हैं?

(चार छात्रों को बोर्ड में बुलाया जाता है।)

अध्यापक। क्या छत तैयार है?

(शिक्षक एक मॉडल घर पर छत डालता है।)

छात्र एक संस्करण में कार्य पूरा करते हैं।

काम पूरा करने के बाद, वे अपने पड़ोसी के साथ नोटबुक का आदान-प्रदान करते हैं। शिक्षक सही उत्तर बताता है, और छात्र एक-दूसरे को चिह्नित करते हैं।

पाठ सारांश. प्रतिबिंब

अध्यापक। पाठ की शुरुआत में हमने क्या लक्ष्य निर्धारित किया था? क्या आपने धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करना सीखा है? ( नियम दोहराएँ.) जैसा कि आपने इस पाठ में देखा, प्रत्येक नया विषय एक घर है जिसे वर्षों तक पूरी तरह से बनाने की आवश्यकता है। नहीं तो कुछ ही समय में आपकी सारी इमारतें ढह जाएंगी। इसलिए, सब कुछ आप पर निर्भर करता है। मैं आप लोगों को ज्ञान प्राप्त करने में शुभकामनाएँ और सफलता की कामना करता हूँ।

साइन नियम

नियमों पर हस्ताक्षर करें

आइए संकेतों के बुनियादी नियमों पर करीब से नज़र डालें।

यदि हम "प्लस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" मिलता है। यदि हम "माइनस" को "प्लस" से विभाजित करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। यदि हम "प्लस" को "प्लस" से विभाजित करते हैं, तो हमें "प्लस" प्राप्त होता है। यदि हम "माइनस" को "माइनस" से विभाजित करते हैं, तो, अजीब तरह से, हमें "प्लस" भी मिलता है।

यदि हम "माइनस" को "प्लस" से गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" मिलता है। यदि हम "प्लस" को "माइनस" से गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा "माइनस" भी मिलता है। यदि हम "प्लस" को "प्लस" से गुणा करते हैं, तो हमें एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है, अर्थात "प्लस"। यही बात दो ऋणात्मक संख्याओं पर भी लागू होती है। यदि हम "माइनस" को "माइनस" से गुणा करते हैं, तो हमें "प्लस" मिलता है।

वे विभिन्न सिद्धांतों पर आधारित हैं। यदि कोई ऋणात्मक संख्या निरपेक्ष मान में हमारी धनात्मक संख्या से अधिक है, तो परिणाम, निश्चित रूप से, ऋणात्मक होगा। निश्चित रूप से, आप सोच रहे होंगे कि मॉड्यूल क्या है और यह यहाँ क्यों है। सब कुछ बहुत सरल है. मापांक एक संख्या का मान है, लेकिन बिना किसी चिह्न के। उदाहरण के लिए -7 और 3. मोडुलो -7 बस 7 होगा, और 3, 3 ही रहेगा। परिणामस्वरूप, हम देखते हैं कि 7 बड़ा है, यानी, यह पता चलता है कि हमारी नकारात्मक संख्या अधिक है। तो परिणाम आता है -7+3 = -4. इसे और भी सरल बनाया जा सकता है. बस पहले स्थान पर एक धनात्मक संख्या रखें, और यह 3-7 = -4 निकलेगा, शायद यह किसी के लिए अधिक स्पष्ट होगा। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत पर काम करता है।

माइनस गुणा माइनस प्लस क्यों देता है?

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।"

बहुत समय पहले, लोग केवल प्राकृतिक संख्याएँ जानते थे: 1, 2, 3,। उनका उपयोग बर्तनों, लूट, दुश्मनों आदि को गिनने के लिए किया जाता था, लेकिन संख्याएँ स्वयं बहुत बेकार हैं - आपको यह जानना होगा कि उन्हें कैसे संभालना है। जोड़ स्पष्ट और समझने योग्य है, और इसके अलावा, दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ कहेगा कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट जोड़ के संचालन के तहत बंद है)। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं तो गुणन मूलतः जोड़ के समान है। जीवन में, हम अक्सर इन दो कार्यों से संबंधित कार्य करते हैं (उदाहरण के लिए, खरीदारी करते समय, हम जोड़ते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उनका सामना कम बार किया था - जोड़ और गुणा में मानवता द्वारा बहुत लंबे समय से महारत हासिल थी। पहले। अक्सर आपको कुछ मात्राओं को दूसरों से विभाजित करना पड़ता है, लेकिन यहां परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है - इस प्रकार भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं।

7वीं शताब्दी ईस्वी के बाद से भारतीय दस्तावेज़ों में नकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती रही हैं; जाहिर तौर पर चीनियों ने इनका इस्तेमाल कुछ पहले ही शुरू कर दिया था। इनका उपयोग ऋणों का हिसाब-किताब करने या समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए मध्यवर्ती गणनाओं में किया जाता था - यह सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने का एक उपकरण मात्र था। तथ्य यह है कि सकारात्मक संख्याओं के विपरीत, नकारात्मक संख्याएं, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, जिससे गहरा अविश्वास पैदा हुआ। लोग वस्तुतः नकारात्मक संख्याओं से बचते थे: यदि किसी समस्या का नकारात्मक उत्तर होता, तो उनका मानना ​​होता कि इसका कोई उत्तर ही नहीं है। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक ​​कि डेसकार्टेस - आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक - ने उन्हें "झूठा" (17 वीं शताब्दी में!) कहा।

7x – 17 = 2x – 2. इसे इस तरह से हल किया जा सकता है: अज्ञात वाले शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर, यह निकल जाएगा 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , एक्स = 3

लेकिन गलती से इसे अलग तरीके से करना संभव था: अज्ञात के साथ शर्तों को दाईं ओर ले जाएं और प्राप्त करें 2 – 17 = 2x – 7x , (–15)= (–5)x. अज्ञात ज्ञात करने के लिए, आपको एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा: एक्स = (-15)/(-5). लेकिन सही उत्तर ज्ञात है, और यह निष्कर्ष निकालना बाकी है (–15)/(–5) = 3 .

. दूसरे, ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम एक ऐसे समाधान की खोज करने वाली थकाऊ (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में पद हों) से छुटकारा मिलता है, जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर ही की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार रूपांतरित मात्राओं की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते हैं - और यह पहले से ही गणित को एक अमूर्त विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नकारात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियम तुरंत नहीं बने, बल्कि लागू समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाले कई उदाहरणों का सामान्यीकरण बन गए। सामान्य तौर पर, गणित के विकास को चरणों में विभाजित किया जा सकता है: वस्तुओं का अध्ययन करते समय प्रत्येक अगला चरण अमूर्तता के एक नए स्तर द्वारा पिछले चरण से भिन्न होता है। इस प्रकार, 19वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने महसूस किया कि पूर्णांक और बहुपद, उनके सभी बाहरी अंतरों के बावजूद, बहुत कुछ समान हैं: दोनों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। ये संक्रियाएँ समान कानूनों के अधीन हैं - संख्याओं के मामले में और बहुपदों के मामले में। लेकिन पूर्णांकों को एक दूसरे से विभाजित करना ताकि परिणाम फिर से पूर्णांक हो, हमेशा संभव नहीं होता है। बहुपदों के साथ भी ऐसा ही है।

अँगूठी अभिगृहीत

अँगूठी

• ए + बी = बी + एकिसी भी तत्व के लिए एऔर बी) और साहचर्य ( ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी अ+0=अ, और किसी भी तत्व के लिए ए (-ए)), क्या ए + (-ए) = 0 ;
• गुणन संयोजन नियम का पालन करता है: ए·(बी·सी) = (ए·बी)·सी ;

ध्यान दें कि रिंग्स, सबसे सामान्य निर्माण में, गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता, या इसकी उलटापन (यानी, विभाजन हमेशा नहीं किया जा सकता है), या एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है - गुणन में एक तटस्थ तत्व। यदि हम इन स्वयंसिद्धों का परिचय देते हैं, तो हमें अलग-अलग बीजगणितीय संरचनाएँ मिलती हैं, लेकिन उनमें वलयों के लिए सिद्ध सभी प्रमेय सत्य होंगे।

एदो विपरीत हैं: बीऔर साथ. वह है ए + बी = 0 = ए + सी. आइए राशि पर विचार करें ए+बी+सी बी: सी: . मतलब, बी=सी .

आइए अब हम उस पर ध्यान दें ए, और (-(-ए)) (-ए)

पहला तथ्य इस प्रकार सामने आता है: वह है (-ए)·बीविलोम ए·बी, जिसका अर्थ है कि यह बराबर है –(ए बी) .

0·बी = 0किसी भी तत्व के लिए बी. वास्तव में, 0·बी = (0 + 0) बी = 0·बी + 0·बी. यानी जोड़ 0·बी

माइनस को माइनस से गुणा करने के नियम





कुछ विस्तार के साथ, वही स्पष्टीकरण उत्पाद 1-5 के लिए मान्य है, यदि हम मानते हैं कि "योग" एक एकल से है

पद इस पद के बराबर है. लेकिन गुणनफल 0 5 या (-3) 5 को इस तरह से नहीं समझाया जा सकता: शून्य या शून्य तीन पदों के योग का क्या मतलब है?

हालाँकि, आप कारकों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

यदि हम चाहते हैं कि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद में बदलाव न हो - जैसा कि सकारात्मक संख्याओं के मामले में था - तो हमें यह मान लेना चाहिए

अब गुणनफल (-3) (-5) पर चलते हैं। यह किसके बराबर है: -15 या +15? दोनों विकल्पों का एक कारण है. एक ओर, एक कारक में ऋण पहले से ही उत्पाद को नकारात्मक बना देता है - और भी अधिक, यदि दोनों कारक नकारात्मक हैं तो यह नकारात्मक होना चाहिए। दूसरी ओर, तालिका में. 7 में पहले से ही दो माइनस हैं, लेकिन केवल एक प्लस है, और "निष्पक्षता में" (-3)-(-5) +15 के बराबर होना चाहिए। तो आपको किसे प्राथमिकता देनी चाहिए?



बेशक, आप इस तरह की बातों से भ्रमित नहीं होंगे: अपने स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से आपने दृढ़ता से सीखा है कि माइनस बाय माइनस एक प्लस देता है। लेकिन कल्पना कीजिए कि आपका छोटा भाई या बहन आपसे पूछता है: क्यों? यह क्या है - एक शिक्षक की सनक, उच्च अधिकारियों का एक आदेश, या एक प्रमेय जिसे सिद्ध किया जा सकता है?

आमतौर पर ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के नियम को तालिका में प्रस्तुत उदाहरणों के साथ समझाया जाता है। 8.



इसे अलग ढंग से समझाया जा सकता है. आइए संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें

आइए अब उन्हीं संख्याओं को 3 से गुणा करके लिखें:

यह नोटिस करना आसान है कि प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 3 अधिक है। अब आइए उन्हीं संख्याओं को उल्टे क्रम में लिखें (उदाहरण के लिए, 5 और 15 से शुरू करें):



इसके अलावा, संख्या -5 के नीचे एक संख्या -15 थी, इसलिए 3 (-5) = -15: प्लस से माइनस एक माइनस देता है।

अब संख्याओं को 1,2,3,4,5 से गुणा करके वही प्रक्रिया दोहराते हैं। -3 से (हम पहले से ही जानते हैं कि प्लस से माइनस माइनस देता है):

निचली पंक्ति में प्रत्येक अगली संख्या पिछली पंक्ति से 3 कम है। संख्याओं को उल्टे क्रम में लिखें



संख्या -5 के अंतर्गत 15 हैं, अतः (-3) (-5) = 15.

शायद ये स्पष्टीकरण आपके छोटे भाई या बहन को संतुष्ट कर देंगे। लेकिन आपको यह पूछने का अधिकार है कि चीजें वास्तव में कैसी हैं और क्या यह साबित करना संभव है कि (-3) (-5) = 15?

इसका उत्तर यह है कि यदि हम चाहते हैं कि जोड़, घटाव और गुणन के सामान्य गुण नकारात्मक संख्याओं सहित सभी संख्याओं के लिए सही रहें तो हम साबित कर सकते हैं कि (-3) (-5) 15 के बराबर होना चाहिए। इस प्रमाण की रूपरेखा इस प्रकार है।

आइए पहले सिद्ध करें कि 3 (-5) = -15. -15 क्या है? यह 15 की विपरीत संख्या है, अर्थात वह संख्या जिसे 15 में जोड़ने पर 0 आता है। इसलिए हमें यह सिद्ध करना होगा

(कोष्ठक से 3 निकालकर, हमने वितरण के नियम ab + ac = a(b + c) का उपयोग किया - आखिरकार, हम मानते हैं कि यह नकारात्मक सहित सभी संख्याओं के लिए सत्य है।) तो, (सावधानीपूर्वक) पाठक हमसे पूछेंगे कि ऐसा क्यों है। हम ईमानदारी से स्वीकार करते हैं: हम इस तथ्य के प्रमाण को छोड़ देते हैं - साथ ही शून्य क्या है की सामान्य चर्चा को भी छोड़ देते हैं।)

आइए अब सिद्ध करें कि (-3) (-5) = 15. ऐसा करने के लिए, हम लिखते हैं



और समानता के दोनों पक्षों को -5 से गुणा करें:

आइए बाईं ओर के कोष्ठक खोलें:

यानी (-3) (-5) + (-15) = 0. इस प्रकार, संख्या संख्या -15 के विपरीत है, यानी 15 के बराबर है। (इस तर्क में भी अंतराल हैं: इसे साबित करना आवश्यक होगा) कि केवल एक ही संख्या है, -15 के विपरीत।)

विपक्ष नियम. माइनस गुणा माइनस प्लस क्यों देता है?

गणित शिक्षक की बात सुनकर, अधिकांश छात्र सामग्री को एक सिद्धांत के रूप में देखते हैं। साथ ही, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि "प्लस" से "माइनस" क्यों "माइनस" चिन्ह देता है, और दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क खुद को या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री पर दृढ़ता से महारत हासिल की, लेकिन यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोले-भाले नहीं होते हैं; उन्हें चीजों की तह तक जाने और समझने की ज़रूरत होती है, कहते हैं, क्यों एक "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देता है। और कभी-कभी टॉमबॉय उस क्षण का आनंद लेने के लिए जानबूझकर पेचीदा प्रश्न पूछते हैं जब वयस्क कोई समझदार उत्तर नहीं दे पाते हैं। और अगर कोई युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है।

वैसे बता दें कि ऊपर बताया गया नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है. एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" देगा। यदि हम "-" चिह्न वाले दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। विभाजन के लिए भी यही बात लागू होती है. यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल में "-" चिन्ह भी होगा।

गणित के इस नियम की सत्यता को समझाने के लिए वलय के अभिगृहीतों का सूत्रीकरण करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इसे एक उदाहरण से समझना बेहतर होगा.

वलय स्वयंसिद्ध

अनेक गणितीय नियम हैं।

• इनमें से पहला क्रमविनिमेय है, इसके अनुसार, C + V = V + C.
• दूसरे को साहचर्य (V + C) + D = V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D = V x (C x D) भी उनका पालन करता है।

किसी ने भी उस नियम को रद्द नहीं किया है जिसके अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं (V + C) x D = V x D + C x D; यह भी सच है कि C x (V + D) = C x V + C x D.

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को रिंग में पेश किया जा सकता है, जब उपयोग किया जाता है तो निम्नलिखित सत्य होगा: सी + 0 = सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो कर सकता है (-सी) के रूप में दर्शाया जाएगा। इस स्थिति में, C + (-C) = 0.

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: "प्लस और माइनस क्या संकेत देते हैं?" ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के बारे में सिद्धांत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = -(C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C)) = C.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का उसके विपरीत केवल एक "भाई" है। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि C के लिए दो संख्याएँ विपरीत हैं - V और D. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C + V = 0 और C + D = 0, यानी C + V = 0 = C + D. के नियमों को याद रखना रूपान्तरण और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम सभी तीन संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: सी, वी और डी। आइए वी का मान जानने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि वी = वी + 0 = वी + (सी) + डी) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर माना गया था, 0 के बराबर है। इसका मतलब है वी = वी + सी + डी।

D का मान इसी प्रकार निकाला जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D.

यह समझने के लिए कि क्यों "प्लस" से "माइनस" अभी भी "माइनस" देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-C) के लिए, C और (-(-C)) विपरीत हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V, (-)C x V के विपरीत है, जिसका अर्थ है (- C) x V = -(C x V).

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, यह पुष्टि करना भी आवश्यक है कि किसी भी तत्व के लिए 0 x V = 0 है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से स्थापित मात्रा में किसी भी तरह से बदलाव नहीं होता है। आख़िरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी सिद्धांतों को जानकर, आप न केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि "प्लस" और "माइनस" कितना देते हैं, बल्कि यह भी पता लगा सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर क्या होता है।

दो संख्याओं को "-" चिह्न से गुणा और विभाजित करना

यदि आप गणितीय बारीकियों में गहराई से नहीं जाते हैं, तो आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को सरल तरीके से समझाने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए मान लें कि C - (-V) = D, इसके आधार पर, C = D + (-V), यानी, C = D - V. हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह C + V = D मिलता है। सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा पर नजर डालते हैं.

(-C) x (-V) = D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x वी) = डी.

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद रखने पर, हमें मिलता है:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V = (-C) x (-V).

इसी प्रकार, आप सिद्ध कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।

सामान्य गणितीय नियम

बेशक, यह स्पष्टीकरण प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है जो अभी-अभी अमूर्त नकारात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना, दिखने वाले शीशे के पीछे के शब्द में हेरफेर करना बेहतर है, जिससे वे परिचित हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कृत लेकिन अस्तित्वहीन खिलौने वहां स्थित हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण वस्तुओं को गुणा करने से उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित किया जाता है, जो वास्तविक के बराबर होता है, यानी, परिणामस्वरूप हमारे पास सकारात्मक संख्याएं होती हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर केवल वही परिणाम मिलता है जो सभी के लिए परिचित होता है। आख़िरकार, "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" प्राप्त होता है। सच है, बच्चे वास्तव में सभी गणितीय बारीकियों को समझने की कोशिश नहीं करते हैं।

हालाँकि, सच्चाई का सामना करने के लिए, कई लोगों के लिए, यहाँ तक कि उच्च शिक्षा प्राप्त करने के बाद भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। शिक्षक उन्हें जो पढ़ाते हैं उसे हर कोई हल्के में लेता है, बिना किसी कठिनाई के उन सभी जटिलताओं को समझ लेता है जिन्हें गणित छिपाता है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई यह जानता है। यह पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।

गणित में माइनस और प्लस नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के संकेत हैं। वे आपस में अलग-अलग तरह से बातचीत करते हैं, इसलिए संख्याओं के साथ कोई भी ऑपरेशन करते समय, उदाहरण के लिए, भाग, गुणा, घटाव, जोड़, आदि को ध्यान में रखना आवश्यक है नियमों पर हस्ताक्षर करें. इन नियमों के बिना, आप कभी भी सबसे सरल बीजगणितीय या ज्यामितीय समस्या को भी हल नहीं कर पाएंगे। इन नियमों को जाने बिना आप न केवल गणित, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और यहां तक ​​कि भूगोल का भी अध्ययन नहीं कर पाएंगे।

घटाव और जोड़.

दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं- यह एक नियम है जो हमने स्कूल में सीखा और जीवन भर लागू किया। और हममें से किसकी दिलचस्पी इसमें क्यों थी? निःसंदेह, अनावश्यक प्रश्न पूछे बिना और मुद्दे के सार में गहराई से उतरे बिना इस कथन को याद रखना आसान है। अब पहले से ही पर्याप्त जानकारी मौजूद है जिसे "पचाने" की आवश्यकता है। लेकिन जो लोग अभी भी इस प्रश्न में रुचि रखते हैं, उनके लिए हम इस गणितीय घटना की व्याख्या देने का प्रयास करेंगे।

प्राचीन काल से, लोगों ने सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया है: 1, 2, 3, 4, 5,... संख्याओं का उपयोग पशुधन, फसलों, दुश्मनों आदि की गिनती के लिए किया जाता था। दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर, उन्हें हमेशा एक धनात्मक संख्या मिलती थी; एक मात्रा को दूसरे से विभाजित करने पर, उन्हें हमेशा प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलती थीं - इस तरह भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं। घटाव के बारे में क्या? बचपन से, हम जानते हैं कि अधिक में कम जोड़ना और अधिक में से कम घटाना बेहतर है, और फिर हम ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग नहीं करते हैं। इससे पता चलता है कि अगर मेरे पास 10 सेब हैं, तो मैं किसी को 10 या 10 से कम ही दे सकता हूँ। मेरे पास 13 सेब देने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि मेरे पास वे नहीं हैं। लम्बे समय तक ऋणात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं थी।

केवल 7वीं शताब्दी ई. से।कुछ गणना प्रणालियों में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग सहायक मात्राओं के रूप में किया जाता था जिससे उत्तर में सकारात्मक संख्या प्राप्त करना संभव हो जाता था।

आइए एक उदाहरण देखें, 6x – 30 = 3x – 9. उत्तर खोजने के लिए, बाईं ओर अज्ञात वाले पदों को छोड़ना आवश्यक है, और शेष को दाईं ओर: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 इस समीकरण को हल करते समय, हमारे पास कोई ऋणात्मक संख्या भी नहीं थी। हम अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर और बिना अज्ञात वाले पदों को बाईं ओर ले जा सकते हैं: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x)। किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर हमें सकारात्मक उत्तर मिलता है: x = 7.

ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करने से हमें वही उत्तर मिलना चाहिए जो केवल सकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने पर मिलता है। हमें अब कार्यों की व्यावहारिक असंभवता और सार्थकता के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है - वे समीकरण को केवल सकारात्मक संख्याओं के रूप में कम किए बिना, समस्या को बहुत तेज़ी से हल करने में हमारी सहायता करते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने जटिल गणनाओं का उपयोग नहीं किया, लेकिन यदि बड़ी संख्या में पद हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं वाली गणनाएं हमारे काम को आसान बना सकती हैं।

समय के साथ, लंबे प्रयोगों और गणनाओं के बाद, उन नियमों की पहचान करना संभव हो गया जो सभी संख्याओं और उन पर संचालन को नियंत्रित करते हैं (गणित में उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। यहीं से यह आया है एक सिद्धांत जो बताता है कि जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो हमें एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

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1) माइनस वन गुना माइनस वन, प्लस वन के बराबर क्यों होता है?
2) माइनस वन गुना प्लस वन बराबर माइनस वन क्यों होता है?

"दुश्मन का दुश्मन, मेरा दोस्त है।"

सबसे आसान उत्तर है: "क्योंकि ये ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियम हैं।" नियम जो हम स्कूल में सीखते हैं और जीवन भर लागू करते हैं। हालाँकि, पाठ्यपुस्तकें यह नहीं बताती हैं कि नियम ऐसे क्यों हैं। हम पहले अंकगणित के विकास के इतिहास के आधार पर इसे समझने का प्रयास करेंगे और फिर आधुनिक गणित के दृष्टिकोण से इस प्रश्न का उत्तर देंगे।

बहुत समय पहले, लोग केवल प्राकृतिक संख्याएँ जानते थे: 1, 2, 3,। उनका उपयोग बर्तनों, लूट, दुश्मनों आदि को गिनने के लिए किया जाता था, लेकिन संख्याएँ स्वयं बहुत बेकार हैं - आपको यह जानना होगा कि उन्हें कैसे संभालना है। जोड़ स्पष्ट और समझने योग्य है, और इसके अलावा, दो प्राकृतिक संख्याओं का योग भी एक प्राकृतिक संख्या है (एक गणितज्ञ कहेगा कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट जोड़ के संचालन के तहत बंद है)। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं तो गुणन मूलतः जोड़ के समान है। जीवन में, हम अक्सर इन दो कार्यों से संबंधित कार्य करते हैं (उदाहरण के लिए, खरीदारी करते समय, हम जोड़ते हैं और गुणा करते हैं), और यह सोचना अजीब है कि हमारे पूर्वजों ने उनका सामना कम बार किया था - जोड़ और गुणा में मानवता द्वारा बहुत लंबे समय से महारत हासिल थी। पहले। अक्सर आपको कुछ मात्राओं को दूसरों से विभाजित करना पड़ता है, लेकिन यहां परिणाम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है - इस प्रकार भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं।

बेशक, आप घटाव के बिना भी काम नहीं कर सकते। लेकिन व्यवहार में, हम आमतौर पर बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटा देते हैं, और ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है। (यदि मेरे पास 5 कैंडी हैं और मैं अपनी बहन को 3 देता हूं, तो मेरे पास 5 - 3 = 2 कैंडी बचेंगी, लेकिन मैं चाहकर भी उसे 7 कैंडी नहीं दे सकता।) यह समझा सकता है कि लोगों ने ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग क्यों नहीं किया है लंबे समय तक।

7वीं शताब्दी ईस्वी के बाद से भारतीय दस्तावेज़ों में नकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती रही हैं; जाहिर तौर पर चीनियों ने इनका इस्तेमाल कुछ पहले ही शुरू कर दिया था। उनका उपयोग ऋणों के हिसाब-किताब के लिए या मध्यवर्ती गणनाओं में समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए किया जाता था - वे सकारात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए सिर्फ एक उपकरण थे। तथ्य यह है कि सकारात्मक संख्याओं के विपरीत, नकारात्मक संख्याएं, किसी भी इकाई की उपस्थिति को व्यक्त नहीं करती हैं, जिससे गहरा अविश्वास पैदा हुआ। लोग वस्तुतः नकारात्मक संख्याओं से बचते थे: यदि किसी समस्या का नकारात्मक उत्तर होता, तो उनका मानना ​​होता कि इसका कोई उत्तर ही नहीं है। यह अविश्वास बहुत लंबे समय तक बना रहा, और यहां तक ​​कि आधुनिक गणित के "संस्थापकों" में से एक, डेसकार्टेस ने भी उन्हें "झूठा" कहा (17वीं शताब्दी में!)।

उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें 7x – 17 = 2x – 2. इसे इस तरह से हल किया जा सकता है: अज्ञात वाले शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, और बाकी को दाईं ओर, यह निकल जाएगा 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , एक्स = 3. इस समाधान के साथ, हमें ऋणात्मक संख्याओं का भी सामना नहीं करना पड़ा।

यह सरल उदाहरण क्या प्रदर्शित करता है? सबसे पहले, नकारात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को निर्धारित करने वाला तर्क स्पष्ट हो जाता है: इन कार्यों के परिणाम नकारात्मक संख्याओं के बिना, किसी अन्य तरीके से प्राप्त उत्तरों से मेल खाने चाहिए. दूसरे, ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग की अनुमति देकर, हम एक ऐसे समाधान की खोज करने वाली थकाऊ (यदि समीकरण अधिक जटिल हो जाता है, जिसमें बड़ी संख्या में पद हों) से छुटकारा मिलता है, जिसमें सभी क्रियाएं केवल प्राकृतिक संख्याओं पर ही की जाती हैं। इसके अलावा, हम अब हर बार रूपांतरित मात्राओं की सार्थकता के बारे में नहीं सोच सकते हैं - और यह पहले से ही गणित को एक अमूर्त विज्ञान में बदलने की दिशा में एक कदम है।

नकारात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियम तुरंत नहीं बने, बल्कि लागू समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होने वाले कई उदाहरणों का सामान्यीकरण बन गए। सामान्य तौर पर, गणित के विकास को चरणों में विभाजित किया जा सकता है: वस्तुओं का अध्ययन करते समय प्रत्येक अगला चरण अमूर्तता के एक नए स्तर द्वारा पिछले चरण से भिन्न होता है। इस प्रकार, 19वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने महसूस किया कि पूर्णांक और बहुपद, उनके सभी बाहरी अंतरों के बावजूद, बहुत कुछ समान हैं: दोनों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। ये संक्रियाएँ समान नियमों का पालन करती हैं - संख्याओं के मामले में और बहुपदों के मामले में। लेकिन पूर्णांकों को एक दूसरे से विभाजित करना ताकि परिणाम फिर से पूर्णांक हो, हमेशा संभव नहीं होता है। बहुपदों के साथ भी ऐसा ही है।

फिर गणितीय वस्तुओं के अन्य सेटों की खोज की गई जिन पर ऐसे ऑपरेशन किए जा सकते थे: औपचारिक शक्ति श्रृंखला, निरंतर कार्य। अंत में, यह समझ आई कि यदि आप स्वयं संक्रियाओं के गुणों का अध्ययन करते हैं, तो परिणाम वस्तुओं के इन सभी संग्रहों पर लागू किए जा सकते हैं (यह दृष्टिकोण सभी आधुनिक गणित की विशेषता है)।

परिणामस्वरूप, एक नई अवधारणा उभरी: अँगूठी. यह केवल तत्वों और उन पर की जा सकने वाली कार्रवाइयों का एक सेट है। यहां मूलभूत नियम नियम हैं (उन्हें कहा जाता है)। अभिगृहीत), जो क्रियाओं के अधीन हैं, न कि सेट के तत्वों की प्रकृति (यहां यह अमूर्तता का एक नया स्तर है!)। इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि यह वह संरचना है जो स्वयंसिद्धों को पेश करने के बाद उत्पन्न होती है जो महत्वपूर्ण है, गणितज्ञ कहते हैं: पूर्णांकों की एक अंगूठी, बहुपदों की एक अंगूठी, आदि। सिद्धांतों से शुरू करके, कोई छल्ले के अन्य गुणों का अनुमान लगा सकता है।

हम रिंग के सिद्धांतों को तैयार करेंगे (जो, निश्चित रूप से, पूर्णांक के साथ संचालन के नियमों के समान हैं), और फिर साबित करेंगे कि किसी भी रिंग में, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस उत्पन्न होता है।

अँगूठीदो बाइनरी ऑपरेशनों वाला एक सेट है (अर्थात, प्रत्येक ऑपरेशन में रिंग के दो तत्व शामिल होते हैं), जिन्हें पारंपरिक रूप से जोड़ और गुणा कहा जाता है, और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध:

• रिंग के तत्वों का जोड़ क्रमविनिमेय के अधीन है ( ए + बी = बी + एकिसी भी तत्व के लिए एऔर बी) और साहचर्य ( ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी) कानून; रिंग में एक विशेष तत्व 0 (जोड़कर तटस्थ तत्व) होता है अ+0=अ, और किसी भी तत्व के लिए एएक विपरीत तत्व है (निरूपित)। (-ए)), क्या ए + (-ए) = 0 ;
• जोड़ और गुणा कोष्ठक खोलने के निम्नलिखित नियमों से संबंधित हैं: (ए + बी) सी = ए सी + बी सीऔर ए (बी + सी) = ए बी + ए सी .

ध्यान दें कि रिंग्स, सबसे सामान्य निर्माण में, गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता, या इसकी उलटापन (यानी, विभाजन हमेशा नहीं किया जा सकता है), या एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है - गुणन में एक तटस्थ तत्व। यदि हम इन स्वयंसिद्धों का परिचय देते हैं, तो हमें अलग-अलग बीजगणितीय संरचनाएँ मिलती हैं, लेकिन उनमें वलयों के लिए सिद्ध सभी प्रमेय सत्य होंगे।

अब हम इसे किसी भी तत्व के लिए सिद्ध करते हैं एऔर बीएक मनमाना वलय सत्य है, सबसे पहले, (-ए) बी = -(ए बी), और दूसरी बात (–(–ए)) = ए. इकाइयों के बारे में कथन आसानी से इससे प्राप्त होते हैं: (–1) 1 = –(1 1) = –1और (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

ऐसा करने के लिए हमें कुछ तथ्य स्थापित करने होंगे। पहले हम सिद्ध करते हैं कि प्रत्येक तत्व का केवल एक ही विपरीत हो सकता है। वास्तव में, तत्व चलो एदो विपरीत हैं: बीऔर साथ. वह है ए + बी = 0 = ए + सी. आइए राशि पर विचार करें ए+बी+सी. सहयोगी और क्रमविनिमेय कानूनों और शून्य की संपत्ति का उपयोग करके, हम पाते हैं कि, एक ओर, योग बराबर है बी : बी = बी + 0 = बी + (ए + सी) = ए + बी + सी, और दूसरी ओर, यह बराबर है सी : ए + बी + सी = (ए + बी) + सी = 0 + सी = सी. मतलब, बी=सी .

आइए अब हम उस पर ध्यान दें ए, और (-(-ए))एक ही तत्व के विपरीत हैं (-ए), इसलिए वे बराबर होने चाहिए।

पहला तथ्य इस प्रकार है: 0 = 0 बी = (ए + (-ए)) बी = ए बी + (-ए) बी, वह है (-ए)·बीविलोम ए·बी, जिसका अर्थ है कि यह बराबर है –(ए बी) .

गणितीय रूप से कठोर होने के लिए, आइए यह भी बताएं कि क्यों 0·बी = 0किसी भी तत्व के लिए बी. वास्तव में, 0·बी = (0 + 0) बी = 0·बी + 0·बी. यानी जोड़ 0·बीराशि नहीं बदलती. इसका मतलब यह है कि यह उत्पाद शून्य के बराबर है.

और तथ्य यह है कि रिंग में बिल्कुल एक शून्य है (आखिरकार, स्वयंसिद्ध कहते हैं कि ऐसा तत्व मौजूद है, लेकिन इसकी विशिष्टता के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है!), हम एक सरल अभ्यास के रूप में पाठक पर छोड़ देंगे।

गणित शिक्षक की बात सुनकर, अधिकांश छात्र सामग्री को एक सिद्धांत के रूप में देखते हैं। साथ ही, कुछ लोग इसकी तह तक जाने की कोशिश करते हैं और यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि "प्लस" से "माइनस" क्यों "माइनस" चिन्ह देता है, और दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक सकारात्मक परिणाम आता है।

गणित के नियम

अधिकांश वयस्क खुद को या अपने बच्चों को यह समझाने में असमर्थ हैं कि ऐसा क्यों होता है। उन्होंने स्कूल में इस सामग्री पर दृढ़ता से महारत हासिल की, लेकिन यह पता लगाने की कोशिश भी नहीं की कि ऐसे नियम कहां से आए। परन्तु सफलता नहीं मिली। अक्सर, आधुनिक बच्चे इतने भोले-भाले नहीं होते हैं; उन्हें चीजों की तह तक जाने और समझने की ज़रूरत होती है, कहते हैं, क्यों एक "प्लस" और एक "माइनस" एक "माइनस" देता है। और कभी-कभी टॉमबॉय उस क्षण का आनंद लेने के लिए जानबूझकर पेचीदा प्रश्न पूछते हैं जब वयस्क कोई समझदार उत्तर नहीं दे पाते हैं। और अगर कोई युवा शिक्षक मुसीबत में पड़ जाए तो यह वास्तव में एक आपदा है...

वैसे बता दें कि ऊपर बताया गया नियम गुणा और भाग दोनों के लिए मान्य है. एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल केवल "ऋण" देगा। यदि हम "-" चिह्न वाले दो अंकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो परिणाम एक सकारात्मक संख्या होगी। विभाजन के लिए भी यही बात लागू होती है. यदि संख्याओं में से एक ऋणात्मक है, तो भागफल में "-" चिन्ह भी होगा।

गणित के इस नियम की सत्यता को समझाने के लिए वलय के अभिगृहीतों का सूत्रीकरण करना आवश्यक है। लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि यह क्या है। गणित में रिंग को आमतौर पर एक सेट कहा जाता है जिसमें दो तत्वों के साथ दो ऑपरेशन शामिल होते हैं। लेकिन इसे एक उदाहरण से समझना बेहतर होगा.

वलय स्वयंसिद्ध

अनेक गणितीय नियम हैं।

• इनमें से पहला क्रमविनिमेय है, इसके अनुसार, C + V = V + C.
• दूसरे को साहचर्य (V + C) + D = V + (C + D) कहा जाता है।

गुणन (V x C) x D = V x (C x D) भी उनका पालन करता है।

किसी ने भी उस नियम को रद्द नहीं किया है जिसके अनुसार कोष्ठक खोले जाते हैं (V + C) x D = V x D + C x D; यह भी सच है कि C x (V + D) = C x V + C x D.

इसके अलावा, यह स्थापित किया गया है कि एक विशेष, अतिरिक्त-तटस्थ तत्व को रिंग में पेश किया जा सकता है, जब उपयोग किया जाता है तो निम्नलिखित सत्य होगा: सी + 0 = सी। इसके अलावा, प्रत्येक सी के लिए एक विपरीत तत्व है, जो कर सकता है (-सी) के रूप में दर्शाया जाएगा। इस स्थिति में, C + (-C) = 0.

ऋणात्मक संख्याओं के लिए अभिगृहीतों की व्युत्पत्ति

उपरोक्त कथनों को स्वीकार करने के बाद, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: "प्लस और माइनस क्या संकेत देते हैं?" ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने के बारे में सिद्धांत को जानने के बाद, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि वास्तव में (-C) x V = -(C x V)। और यह भी कि निम्नलिखित समानता सत्य है: (-(-C)) = C.

ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रत्येक तत्व का उसके विपरीत केवल एक "भाई" है। प्रमाण के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। आइए कल्पना करने का प्रयास करें कि C के लिए दो संख्याएँ विपरीत हैं - V और D. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C + V = 0 और C + D = 0, यानी C + V = 0 = C + D. के नियमों को याद रखना रूपान्तरण और संख्या 0 के गुणों के बारे में, हम सभी तीन संख्याओं के योग पर विचार कर सकते हैं: सी, वी और डी। आइए वी का मान जानने का प्रयास करें। यह तर्कसंगत है कि वी = वी + 0 = वी + (सी) + डी) = वी + सी + डी, क्योंकि सी + डी का मान, जैसा कि ऊपर माना गया था, 0 के बराबर है। इसका मतलब है वी = वी + सी + डी।

D का मान इसी प्रकार निकाला जाता है: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि V = D.

यह समझने के लिए कि क्यों "प्लस" से "माइनस" अभी भी "माइनस" देता है, आपको निम्नलिखित को समझने की आवश्यकता है। तो, तत्व (-C) के लिए, C और (-(-C)) विपरीत हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं।

तब यह स्पष्ट है कि 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V, (-)C x V के विपरीत है, जिसका अर्थ है (- C) x V = -(C x V).

पूर्ण गणितीय कठोरता के लिए, यह पुष्टि करना भी आवश्यक है कि किसी भी तत्व के लिए 0 x V = 0 है। यदि आप तर्क का पालन करते हैं, तो 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V। इसका मतलब है कि उत्पाद 0 x V जोड़ने से स्थापित मात्रा में किसी भी तरह से बदलाव नहीं होता है। आख़िरकार, यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

इन सभी सिद्धांतों को जानकर, आप न केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि "प्लस" और "माइनस" कितना देते हैं, बल्कि यह भी पता लगा सकते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर क्या होता है।

दो संख्याओं को "-" चिह्न से गुणा और विभाजित करना

यदि आप गणितीय बारीकियों में गहराई से नहीं जाते हैं, तो आप ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को सरल तरीके से समझाने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए मान लें कि C - (-V) = D, इसके आधार पर, C = D + (-V), यानी, C = D - V. हम V को स्थानांतरित करते हैं और हमें वह C + V = D मिलता है। सी + वी = सी - (-वी)। यह उदाहरण बताता है कि क्यों एक अभिव्यक्ति में जहां एक पंक्ति में दो "माइनस" हैं, उल्लिखित संकेतों को "प्लस" में बदल दिया जाना चाहिए। अब गुणा पर नजर डालते हैं.

(-C) x (-V) = D, आप अभिव्यक्ति में दो समान उत्पादों को जोड़ और घटा सकते हैं, जिससे इसका मान नहीं बदलेगा: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x वी) = डी.

कोष्ठक के साथ काम करने के नियमों को याद रखने पर, हमें मिलता है:

1) (-सी) एक्स (-वी) + (सी एक्स वी) + (-सी) एक्स वी = डी;

2) (-सी) एक्स ((-वी) + वी) + सी एक्स वी = डी;

3) (-सी) एक्स 0 + सी एक्स वी = डी;

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि C x V = (-C) x (-V).

इसी प्रकार, आप सिद्ध कर सकते हैं कि दो ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होगी।

सामान्य गणितीय नियम

बेशक, यह स्पष्टीकरण प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए उपयुक्त नहीं है जो अभी-अभी अमूर्त नकारात्मक संख्याएँ सीखना शुरू कर रहे हैं। उनके लिए दृश्यमान वस्तुओं पर व्याख्या करना, दिखने वाले शीशे के पीछे के शब्द में हेरफेर करना बेहतर है, जिससे वे परिचित हैं। उदाहरण के लिए, आविष्कृत लेकिन अस्तित्वहीन खिलौने वहां स्थित हैं। उन्हें "-" चिह्न के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। दो दर्पण वस्तुओं को गुणा करने से उन्हें दूसरी दुनिया में स्थानांतरित किया जाता है, जो वास्तविक के बराबर होता है, यानी, परिणामस्वरूप हमारे पास सकारात्मक संख्याएं होती हैं। लेकिन एक अमूर्त ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से गुणा करने पर केवल वही परिणाम मिलता है जो सभी के लिए परिचित होता है। आख़िरकार, "प्लस" को "माइनस" से गुणा करने पर "माइनस" प्राप्त होता है। सच है, बच्चे वास्तव में सभी गणितीय बारीकियों को समझने की कोशिश नहीं करते हैं।

हालाँकि, सच्चाई का सामना करने के लिए, कई लोगों के लिए, यहाँ तक कि उच्च शिक्षा प्राप्त करने के बाद भी, कई नियम एक रहस्य बने हुए हैं। शिक्षक उन्हें जो पढ़ाते हैं उसे हर कोई हल्के में लेता है, बिना किसी कठिनाई के उन सभी जटिलताओं को समझ लेता है जिन्हें गणित छिपाता है। "माइनस" के लिए "माइनस" "प्लस" देता है - बिना किसी अपवाद के हर कोई यह जानता है। यह पूर्ण और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है।

लाइन यूएमके जी.के. मुराविना, ओ.वी. मुराविना. गणित (5-6)

अंक शास्त्र

माइनस के बदले माइनस हमेशा प्लस क्यों देता है?

विरोधी मिलते हैं. बच्चों के रूप में, हमें अक्सर यह बताए बिना कुछ निर्देश मिलते हैं कि यह या वह कार्य क्यों किया जा सकता है या नहीं किया जा सकता है। यह स्कूल में होता है, हालाँकि वहाँ हर चीज़ को समझाया और वर्णित किया जाना चाहिए। तो, अपने छात्र दिनों से हम सीखते हैं कि हम शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, या शून्य से शून्य एक प्लस देता है। लेकिन ऐसा क्यों होता है? किसने कहा ये सच है? आज हम विस्तार से देखेंगे कि क्यों, यदि आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, और यदि आप एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा करते हैं, तो आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है।

प्राकृतिक संख्याओं के लाभ

सबसे पहले, आइए अंकगणित के इतिहास में थोड़ा उतरें। यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि शुरुआत में लोग केवल प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करते थे - एक, दो, तीन, इत्यादि। इनका उपयोग वस्तुओं की वास्तविक संख्या गिनने के लिए किया जाता था। ठीक उसी तरह, हर चीज़ से अलग, संख्याएँ बेकार थीं, इसलिए क्रियाएँ दिखाई देने लगीं जिनकी मदद से संख्याओं के साथ काम करना संभव हो गया। यह बिल्कुल तर्कसंगत है कि किसी व्यक्ति के लिए जोड़ सबसे जरूरी चीज बन गया है। यह क्रिया सरल एवं स्वाभाविक है - वस्तुओं की संख्या गिनना आसान हो गया, अब हर बार पुनः गिनने की आवश्यकता नहीं रही - "एक, दो, तीन।" अब "एक और दो बराबर तीन" क्रिया का उपयोग करके गिनती को बदलना संभव है। प्राकृत संख्याएँ जोड़ी गईं, उत्तर भी प्राकृत संख्या ही था।

गुणन मूलतः जोड़ के समान ही था। व्यवहार में, अब भी, उदाहरण के लिए, खरीदारी करते समय, हम जोड़ और गुणा का उपयोग उसी तरह करते हैं जैसे हमारे पूर्वजों ने बहुत पहले किया था। हालाँकि, कभी-कभी घटाव और विभाजन संक्रियाएँ करना आवश्यक होता था। और संख्याएँ हमेशा समतुल्य नहीं होती थीं - कभी-कभी जिस संख्या से घटाया जाता था वह संख्या घटाई गई संख्या से कम होती थी। विभाजन के साथ भी ऐसा ही है. इस प्रकार भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं।

ऋणात्मक संख्याओं का प्रकट होना

भारतीय दस्तावेज़ों में, ऋणात्मक संख्याओं के अभिलेख 7वीं शताब्दी ई. में सामने आए। चीनी दस्तावेज़ों में इस गणितीय "तथ्य" के पुराने रिकॉर्ड मौजूद हैं।

जीवन में, हम अक्सर बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटा देते हैं। उदाहरण के लिए: मेरे पास 100 रूबल हैं, रोटी और दूध की कीमत 65 रूबल है; 100 - 65 = 35 रूबल परिवर्तन में। यदि मैं कोई अन्य उत्पाद खरीदना चाहता हूं, जिसकी कीमत मेरे शेष 35 रूबल से अधिक है, उदाहरण के लिए, एक और दूध, तो मैं इसे कितना भी खरीदना चाहूं, मेरे पास अधिक पैसे नहीं हैं, इसलिए, नकारात्मक संख्याएं मायने नहीं रखतीं मेरे लिए उपयोग करें.

हालाँकि, आधुनिक जीवन के बारे में बात करना जारी रखते हुए, आइए कॉल करते समय क्रेडिट कार्ड या मोबाइल ऑपरेटर की "माइनस दर्ज करने" की क्षमता का उल्लेख करें। आपके पास अपनी क्षमता से अधिक धनराशि खर्च करने का अवसर आता है, लेकिन जो धन आप पर बकाया है वह गायब नहीं होता, बल्कि कर्ज के रूप में लिख दिया जाता है। और यहां नकारात्मक संख्याएं बचाव के लिए आती हैं: कार्ड पर 100 रूबल हैं, रोटी और दो दूध की कीमत मुझे 110 रूबल होगी; खरीदारी के बाद, मेरे कार्ड का शेष -10 रूबल है।

ऋणात्मक संख्याओं का प्रयोग सबसे पहले लगभग उन्हीं उद्देश्यों के लिए किया गया था। चीनी सबसे पहले ऋण रिकॉर्ड करने या समीकरणों के मध्यवर्ती समाधान में उनका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। लेकिन यह प्रयोग अभी भी केवल एक सकारात्मक संख्या पर पहुंचने के लिए था (बिल्कुल हमारे क्रेडिट कार्ड के पुनर्भुगतान की तरह)। नकारात्मक संख्याओं की लंबी अस्वीकृति को इस तथ्य से सुगम बनाया गया था कि वे विशिष्ट वस्तुओं को व्यक्त नहीं करते थे। दस सिक्के दस सिक्के हैं, वे यहां हैं, आप उन्हें छू सकते हैं, आप उनसे सामान खरीद सकते हैं। "माइनस टेन सिक्के" का क्या मतलब है? उन्हें माना जाता है, भले ही यह एक कर्तव्य हो। यह अज्ञात है कि क्या यह ऋण वापस किया जाएगा, और क्या "रिकॉर्ड किए गए" सिक्के असली में बदल जाएंगे। यदि किसी समस्या को हल करते समय कोई ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो यह माना जाता है कि उत्तर गलत था या उत्तर मौजूद ही नहीं था। लोगों के बीच यह अविश्वासपूर्ण रवैया काफी समय तक बना रहा; यहां तक ​​कि डेसकार्टेस (17वीं शताब्दी), जिन्होंने गणित में सफलता हासिल की, ने नकारात्मक संख्याओं को "झूठा" माना।

मैनुअल के कार्य गणित के चौथे वर्ष के मुख्य विषयों में महारत हासिल करने में संभावित कठिनाइयों को रोकने में मदद करते हैं, स्थानिक अवधारणाओं को विकसित करने, छात्रों के ज्यामितीय अवलोकन और आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करने में मदद करते हैं।

ऋणात्मक संख्याओं वाली क्रियाओं के लिए नियमों का निर्माण

समीकरण 9x-12=4x-2 पर विचार करें। समीकरण को हल करने के लिए, आपको अज्ञात संख्याओं वाले पदों को एक तरफ और ज्ञात संख्याओं को दूसरी तरफ ले जाना होगा। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है।

पहला तरीका.

हम अज्ञात वाले समीकरण के भाग को बाईं ओर और अन्य संख्याओं को दाईं ओर ले जाते हैं। यह पता चला है:

जवाब मिल गया है. उन सभी कार्यों के लिए जिन्हें हमें करने की आवश्यकता थी, हमने कभी भी ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग नहीं किया।

दूसरा तरीका.

अब हम अज्ञात वाले समीकरण के भाग को दाईं ओर और शेष पदों को बाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

समाधान खोजने के लिए, हमें एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा। हालाँकि, हमें पिछले समाधान में सही उत्तर पहले ही मिल गया था - यह x दो के बराबर है। इसलिए, यह निष्कर्ष निकालना बाकी है कि (-10)/(-5)=2।

एक समीकरण को हल करने के ये दो तरीके हमारे लिए क्या साबित करते हैं? पहली बात जो स्पष्ट हो जाती है वह यह है कि ऋणात्मक संख्याओं के साथ संचालन की पर्याप्तता कैसे निकाली गई - परिणामी उत्तर वही होना चाहिए जो केवल प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके हल करते समय होता है। दूसरा बिंदु यह तथ्य है कि अब आपको गैर-ऋणात्मक संख्या प्राप्त करने के लिए मात्राओं के बारे में सोचने की आवश्यकता नहीं है। आप विशेष रूप से जटिल समीकरणों के लिए सबसे सुविधाजनक समाधान विधि चुन सकते हैं। ऐसी कार्रवाइयाँ जिन्होंने कुछ संक्रियाओं के बारे में न सोचना संभव बनाया (क्या करने की आवश्यकता है ताकि केवल प्राकृतिक संख्याएँ हों; कौन सी संख्या बड़ी है, इससे घटाने के लिए, आदि) "अमूर्त" की दिशा में पहला कदम बन गईं अंक शास्त्र।

स्वाभाविक रूप से, ऋणात्मक संख्याओं से निपटने के सभी नियम एक ही समय में नहीं बनाए गए थे। समाधान एकत्रित किये गये, उदाहरणों का सामान्यीकरण किया गया, जिसके आधार पर मूल सिद्धांत धीरे-धीरे उभरने लगे। गणित के विकास के साथ, नए नियमों की पहचान के साथ, अमूर्तता के नए स्तर सामने आए। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी में यह सिद्ध हो गया कि पूर्णांकों और बहुपदों में बहुत कुछ समानता है, हालाँकि वे दिखने में भिन्न हैं। इन सभी को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। वे जिन नियमों का पालन करते हैं उनका उन पर एक तरह से प्रभाव पड़ता है। जहाँ तक कुछ पूर्णांकों को अन्य से विभाजित करने की बात है, यहाँ एक दिलचस्प तथ्य प्रतीक्षा कर रहा है - उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होगा। यही नियम बहुपदों पर भी लागू होता है।

फिर गणितीय वस्तुओं के कई अन्य सेटों की पहचान की गई जिन पर ऐसे ऑपरेशन करना संभव था: औपचारिक शक्ति श्रृंखला, निरंतर कार्य... समय के साथ, गणितज्ञों ने स्थापित किया कि संचालन के गुणों का अध्ययन करने के बाद, परिणाम सभी पर लागू करना संभव हो जाएगा वस्तुओं के ये सेट. वे आधुनिक गणित में बिल्कुल उसी तरह काम करते हैं।

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एक विशुद्ध गणितीय दृष्टिकोण

समय के साथ, गणितज्ञों ने एक नए शब्द की पहचान की - अंगूठी। रिंग से हमारा तात्पर्य कई तत्वों और उन परिचालनों से है जो उन पर किए जा सकते हैं। नियम (समान स्वयंसिद्ध) जो कार्यों को नियंत्रित करते हैं, न कि सेट के तत्वों की प्रकृति को, मौलिक बन जाते हैं। स्वयंसिद्धों की शुरूआत के बाद उत्पन्न होने वाली संरचना की प्रधानता को उजागर करने के लिए, "रिंग" शब्द का आमतौर पर उपयोग किया जाता है: पूर्णांकों की एक अंगूठी, बहुपदों की एक अंगूठी, आदि। सिद्धांतों का उपयोग करके और उनके आधार पर, रिंगों के नए गुण हो सकते हैं पहचाना जाए.

आइए पूर्णांकों के साथ संचालन के सिद्धांतों के समान, रिंग के नियम बनाएं, और साबित करें कि किसी भी रिंग में, जब माइनस को माइनस से गुणा किया जाता है, तो एक प्लस निकलता है।

एक रिंग को दो बाइनरी ऑपरेशन (प्रत्येक क्रिया में रिंग के दो तत्व शामिल होते हैं) के साथ एक सेट के रूप में समझा जाता है, जिसे पारंपरिक रूप से जोड़ और गुणा कहा जाता है, और निम्नलिखित स्वयंसिद्ध:

रिंग तत्वों का योग क्रमविनिमेय (ए + बी = बी + ए किसी भी तत्व ए और बी के लिए) और संयोजन (ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी) कानूनों का पालन करता है; रिंग में एक विशेष तत्व 0 (जोड़ द्वारा तटस्थ तत्व) है जैसे कि ए + 0 = ए, और किसी भी तत्व ए के लिए एक विपरीत तत्व है ((-ए) दर्शाया गया है) जैसे कि ए + (-ए) = 0 ;

गुणन संयोजन नियम का पालन करता है: ए · (बी · सी) = (ए · बी) · सी;

जोड़ और गुणा कोष्ठक खोलने के निम्नलिखित नियमों से संबंधित हैं:

(ए + बी) सी = ए सी + बी सी

ए · (बी + सी) = ए · बी + ए · सी.

आइए हम स्पष्ट करें कि रिंगों को, सबसे सामान्य डिज़ाइन में, गुणन की परिवर्तनीयता, या इसकी उलटापन (विभाजन संचालन हमेशा संभव नहीं होता है), या एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है - गुणन में एक तटस्थ तत्व। यदि हम इन अभिगृहीतों का परिचय देते हैं, तो हमें अन्य बीजगणितीय संरचनाएँ प्राप्त होती हैं, लेकिन छल्लों के लिए सिद्ध सभी मान्य प्रमेयों के साथ।

अंक शास्त्र। 6 ठी श्रेणी। कार्यपुस्तिका क्रमांक 1.

कार्यपुस्तिका में नई सामग्री, विकासात्मक कार्यों और अतिरिक्त कार्यों में महारत हासिल करने और समेकित करने के लिए विभिन्न प्रकार के कार्य शामिल हैं जो विभेदित सीखने की अनुमति देते हैं। नोटबुक का उपयोग पाठ्यपुस्तक "गणित" के संयोजन में किया जाता है। 6वीं कक्षा" (लेखक ए.जी. मर्ज़लियाक, वी.बी. पोलोनस्की, एम.एस. याकिर), जो शैक्षिक और कार्यप्रणाली किट "सफलता के एल्गोरिदम" की प्रणाली में शामिल है।

अगला कदम यह साबित करना होगा कि एक मनमानी रिंग के किसी भी तत्व ए और बी के लिए निम्नलिखित सत्य है: (-ए) बी = -(ए बी) और (-(-ए)) = ए।

इससे हमें इकाइयों के बारे में कथन मिलते हैं:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) · (-1) = -((-1) · 1) = -(-1) = 1.

आगे हमें कुछ बिंदु सिद्ध करने होंगे। सबसे पहले, प्रत्येक तत्व के लिए केवल एक विपरीत के अस्तित्व को स्थापित करना आवश्यक है। आइए मान लें कि तत्व ए में दो विपरीत तत्व हैं: बी और सी। यानी, ए + बी = 0 = ए + सी। आइए योग ए + बी + सी का विश्लेषण करें। क्रमविनिमेय और संयोजन कानूनों के साथ-साथ गुणों का उपयोग करें शून्य, हम पाते हैं कि योग बराबर है:

बी: बी = बी + 0 = बी + (ए + सी) = ए + बी + सी

सी: ए + बी + सी = (ए + बी) + सी = 0 + सी = सी।

इसलिए बी = सी.

ध्यान दें कि A और (-(-A)) दोनों तत्व (-A) के विपरीत हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि तत्व A और (-(-A)) बराबर होने चाहिए।

वे। (-ए) · बी, ए · बी के विपरीत है, इसलिए यह -(ए · बी) के बराबर है।

ध्यान दें कि B के किसी भी तत्व के लिए 0 · B = 0.

0·बी = (0 + 0) बी = 0·बी + 0·बी,

इस प्रकार 0·बी जोड़ने से योग नहीं बदलता है। यह पता चला कि यह उत्पाद शून्य के बराबर है।

क्या हम गुणन को सही ढंग से समझते हैं?

"- ए और बी पाइप पर बैठे थे। ए गिर गया, बी गायब हो गया, पाइप पर क्या बचा था?
“तुम्हारा पत्र मेरे पास बाकी है।”

(फिल्म "यूथ्स इन द यूनिवर्स" से)

किसी संख्या को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य क्यों होता है?

7 * 0 = 0

दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर एक धनात्मक संख्या क्यों उत्पन्न होती है?

7 * (-3) = + 21

शिक्षक इन दो प्रश्नों के उत्तर देने के लिए हर संभव प्रयास करते हैं।

परन्तु यह स्वीकार करने का साहस किसी में नहीं है कि गुणन के निरूपण में तीन अर्थ संबंधी त्रुटियाँ हैं!

क्या बुनियादी अंकगणित में गलतियाँ होना संभव है? आख़िरकार, गणित स्वयं को एक सटीक विज्ञान के रूप में स्थापित करता है...

स्कूल की गणित की पाठ्यपुस्तकें इन सवालों के जवाब नहीं देती हैं, स्पष्टीकरणों को नियमों के एक सेट से बदल देती हैं जिन्हें याद रखने की आवश्यकता होती है। शायद मिडिल स्कूल में इस विषय को समझाना कठिन माना जाता है? आइए इन मुद्दों को समझने की कोशिश करें.

7 गुणज है. 3 एक गुणक है. 21-कार्य.

आधिकारिक शब्दों के अनुसार:

• किसी संख्या को किसी अन्य संख्या से गुणा करने का अर्थ है गुणक द्वारा निर्धारित संख्या में गुणक जोड़ना।

स्वीकृत सूत्रीकरण के अनुसार, कारक 3 हमें बताता है कि समानता के दाईं ओर तीन सात होने चाहिए।

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन गुणन का यह सूत्रीकरण ऊपर पूछे गए प्रश्नों की व्याख्या नहीं कर सकता।

आइए गुणन के शब्दों को ठीक करें

आमतौर पर गणित में मतलब तो बहुत कुछ होता है, लेकिन उसके बारे में बात नहीं की जाती या उसे लिखा नहीं जाता।

यह समीकरण के दाईं ओर पहले सात से पहले प्लस चिह्न को संदर्भित करता है। आइए इस प्लस को लिखें।

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

लेकिन पहले सात को किसमें जोड़ा गया है? बेशक, इसका मतलब शून्य है। आइए शून्य लिखें.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

यदि हम तीन घटा सात से गुणा करें तो क्या होगा?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

हम गुणक -7 का जोड़ लिखते हैं, लेकिन वास्तव में हम शून्य से कई बार घटा रहे हैं। आइए कोष्ठक खोलें।

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

अब हम गुणन का एक परिष्कृत सूत्रीकरण दे सकते हैं।

• गुणन गुणक (-7) में जितनी बार गुणक इंगित करता है उतनी बार जोड़ने (या शून्य से घटाने) की प्रक्रिया है। गुणक (3) और उसका चिह्न (+ या -) उन संक्रियाओं की संख्या दर्शाते हैं जिन्हें शून्य में जोड़ा या घटाया जाता है।

गुणन के इस परिष्कृत और थोड़े संशोधित सूत्रीकरण का उपयोग करके, गुणक ऋणात्मक होने पर गुणन के लिए "चिह्न नियम" आसानी से समझाए जाते हैं।

7 * (-3) - शून्य के बाद तीन ऋण चिह्न होने चाहिए = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7*(-3) - पुनः शून्य = के बाद तीन ऋण चिह्न होने चाहिए

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

शून्य से गुणा करें

7 * 0 = 0 + ... शून्य संचालन में कोई जोड़ नहीं।

यदि गुणन शून्य में जोड़ा गया है, और गुणक शून्य में जोड़ने की संक्रियाओं की संख्या दिखाता है, तो गुणक शून्य दर्शाता है कि शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा गया है। इसलिए यह शून्य रहता है.

इसलिए, गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में, हमें तीन अर्थ संबंधी त्रुटियाँ मिलीं जो दो "चिह्न नियमों" (जब गुणक ऋणात्मक है) और किसी संख्या को शून्य से गुणा करने की समझ को अवरुद्ध करती हैं।

1. आपको गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि इसे शून्य में जोड़ने की आवश्यकता है।
2. गुणा करना न केवल शून्य को जोड़ना है, बल्कि शून्य से घटाना भी है।
3. गुणन को पदों (या घटाए गए) में विघटित करते समय गुणक और उसका चिह्न पदों की संख्या नहीं, बल्कि प्लस या माइनस चिह्नों की संख्या दिखाता है।

सूत्रीकरण को कुछ हद तक स्पष्ट करने के बाद, हम गुणन के क्रमविनिमेय नियम की सहायता के बिना, वितरण नियम के बिना, संख्या रेखा के साथ सादृश्य को शामिल किए बिना, समीकरणों के बिना किसी संख्या को शून्य से गुणा करने के लिए संकेतों के नियमों की व्याख्या करने में सक्षम थे। , व्युत्क्रम से प्रमाण के बिना, आदि।

गुणन के परिष्कृत निरूपण के संकेत नियम अत्यंत सरलता से निकाले गये हैं।

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

गुणक और उसका चिह्न (+3 या -3) समीकरण के दाईं ओर "+" या "-" चिह्नों की संख्या दर्शाते हैं।

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण किसी संख्या को घात तक बढ़ाने की क्रिया से मेल खाता है।

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (एक को किसी भी चीज़ से गुणा या विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए वह एक ही रहता है)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि किसी संख्या को सकारात्मक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उसे कई बार गुणा करना। और किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाना एक को कई बार विभाजित करना है।

गुणन की क्रिया घातांक की क्रिया के समान होनी चाहिए।

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (शून्य में कुछ भी नहीं जोड़ा जाता है और शून्य से कुछ भी नहीं घटाया जाता है)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

गुणन का संशोधित सूत्रीकरण गणित में कुछ भी नहीं बदलता है, लेकिन गुणन संक्रिया का मूल अर्थ लौटाता है, "चिह्नों के नियम" की व्याख्या करता है, किसी संख्या को शून्य से गुणा करता है, और गुणन को घातांक के साथ समेटता है।

आइए जाँच करें कि गुणन का हमारा सूत्रीकरण विभाजन संक्रिया के अनुरूप है या नहीं।

15: 5 = 3 (गुणन का व्युत्क्रम 5 * 3 = 15)

भागफल (3) गुणन के दौरान शून्य (+3) को जोड़ने की संक्रियाओं की संख्या से मेल खाता है।

संख्या 15 को 5 से विभाजित करने का अर्थ है कि आपको 15 में से 5 को कितनी बार घटाने की आवश्यकता है। यह क्रमिक घटाव द्वारा किया जाता है जब तक कि शून्य परिणाम प्राप्त न हो जाए।

विभाजन का परिणाम जानने के लिए, आपको ऋण चिह्नों की संख्या गिननी होगी। उनमें से तीन हैं.

15: 5 = शून्य प्राप्त करने के लिए 15 में से पाँच घटाने की 3 संक्रियाएँ।

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (15:5 भाग)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (5*3 का गुणा)

शेषफल सहित विभाजन.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17:5 = 3 और 2 शेषफल

यदि शेषफल से विभाजन है तो उपांग से गुणा क्यों नहीं?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

आइए कैलकुलेटर पर शब्दों के अंतर को देखें

गुणन का मौजूदा सूत्रीकरण (तीन पद)।

10 + 10 + 10 = 30

सही गुणन सूत्रीकरण (शून्य संक्रियाओं में तीन जोड़)।

0 + 10 = = = 30

(तीन बार "बराबर" दबाएँ।)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 का गुणक इंगित करता है कि गुणक 10 को तीन बार शून्य में जोड़ा जाना चाहिए।

शब्द (-10) शून्य को तीन बार जोड़कर (-10) * (-3) को गुणा करने का प्रयास करें!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

तीन के लिए ऋण चिह्न का क्या मतलब है? संभावित हो?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

ऑप्स... मैं उत्पाद को पदों (-10) के योग (या अंतर) में विघटित नहीं कर सकता।

संशोधित शब्दांकन इसे सही ढंग से करता है।

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

गुणक (-3) इंगित करता है कि गुणक (-10) को शून्य से तीन बार घटाया जाना चाहिए।

जोड़ और घटाव के लिए साइन नियम

ऊपर हमने गुणन के शब्दों के अर्थ को बदलकर गुणन के लिए चिह्नों के नियम प्राप्त करने का एक सरल तरीका दिखाया है।

लेकिन निष्कर्ष के लिए हमने जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों का उपयोग किया। वे गुणन के लिए लगभग समान हैं। आइए जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों का एक दृश्य बनाएं, ताकि पहली कक्षा का छात्र भी इसे समझ सके।

"माइनस", "नेगेटिव" क्या है?

प्रकृति में कुछ भी नकारात्मक नहीं है. यहां कोई ऋणात्मक तापमान नहीं है, कोई ऋणात्मक दिशा नहीं है, कोई ऋणात्मक द्रव्यमान नहीं है, कोई ऋणात्मक आवेश नहीं है... यहां तक ​​कि साइन भी अपनी प्रकृति से केवल धनात्मक ही हो सकती है।

लेकिन गणितज्ञ ऋणात्मक संख्याएँ लेकर आये। किस लिए? "माइनस" का क्या मतलब है?

ऋण चिह्न का अर्थ विपरीत दिशा है। बाएँ दांए। ऊपर से नीचे। दक्षिणावर्त - वामावर्त। आगे - पीछे। ठंडक गरमी। हल्का भारी। तेज लेकिन धीमी गति से चलना। यदि आप इसके बारे में सोचें, तो आप कई अन्य उदाहरण दे सकते हैं जहां नकारात्मक मानों का उपयोग करना सुविधाजनक है।

जिस दुनिया को हम जानते हैं, उसमें अनंत शून्य से शुरू होता है और प्लस अनंत तक जाता है।

"माइनस इन्फिनिटी" वास्तविक दुनिया में मौजूद नहीं है। यह "माइनस" की अवधारणा के समान ही गणितीय परंपरा है।

तो, "माइनस" विपरीत दिशा को दर्शाता है: गति, घूर्णन, प्रक्रिया, गुणा, जोड़। आइए सकारात्मक और नकारात्मक (दूसरी दिशा में वृद्धि) संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय विभिन्न दिशाओं का विश्लेषण करें।

जोड़ और घटाव के संकेतों के नियमों को समझने में कठिनाई इस तथ्य के कारण होती है कि इन नियमों की व्याख्या आमतौर पर संख्या रेखा पर की जाती है। संख्या रेखा पर तीन अलग-अलग घटकों को मिलाया जाता है, जिससे नियम प्राप्त होते हैं। और भ्रम के कारण, विभिन्न अवधारणाओं को एक ढेर में समेटने के कारण, समझने में कठिनाइयाँ पैदा होती हैं।

नियमों को समझने के लिए, हमें विभाजित करने की आवश्यकता है:

• पहला पद और योग (वे क्षैतिज अक्ष पर होंगे);
• दूसरा पद (यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर होगा);
• जोड़ और घटाव संचालन की दिशा.

यह विभाजन चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। मानसिक रूप से कल्पना करें कि ऊर्ध्वाधर अक्ष क्षैतिज अक्ष पर आरोपित होकर घूम सकता है।

जोड़ संचालन हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष को दक्षिणावर्त (प्लस चिह्न) घुमाकर किया जाता है। घटाव ऑपरेशन हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष को वामावर्त (ऋण चिह्न) घुमाकर किया जाता है।

उदाहरण। निचले दाएं कोने में आरेख.

यह देखा जा सकता है कि दो आसन्न ऋण चिह्न (घटाव संक्रिया का चिह्न और संख्या 3 का चिह्न) के अलग-अलग अर्थ हैं। पहला ऋण घटाव की दिशा दर्शाता है। दूसरा ऋण ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संख्या का चिह्न है।

क्षैतिज अक्ष पर पहला पद (-2) ज्ञात कीजिए। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूसरा पद (-3) ज्ञात कीजिए। ऊर्ध्वाधर अक्ष को मानसिक रूप से वामावर्त घुमाएं जब तक कि (-3) क्षैतिज अक्ष पर संख्या (+1) के साथ संरेखित न हो जाए। संख्या (+1) योग का परिणाम है।

घटाव संक्रिया

ऊपरी दाएं कोने में आरेख में जोड़ संचालन के समान परिणाम देता है।

इसलिए, दो आसन्न ऋण चिह्नों को एक धन चिह्न से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

हम सभी अंकगणित के बने-बनाए नियमों का उनके अर्थ के बारे में सोचे बिना उपयोग करने के आदी हैं। इसलिए, हम अक्सर यह भी ध्यान नहीं देते हैं कि जोड़ (घटाव) के संकेतों के नियम गुणा (भाग) के संकेतों के नियमों से कैसे भिन्न हैं। क्या वे एक जैसे लगते हैं? लगभग... निम्नलिखित चित्रण में थोड़ा सा अंतर देखा जा सकता है।

अब हमारे पास गुणन के चिह्न नियम प्राप्त करने के लिए आवश्यक सभी चीजें मौजूद हैं। आउटपुट अनुक्रम इस प्रकार है.

1. हम स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि जोड़ और घटाव के संकेतों के नियम कैसे प्राप्त किए जाते हैं।
2. हम गुणन के मौजूदा सूत्रीकरण में अर्थ संबंधी परिवर्तन करते हैं।
3. गुणन के संशोधित सूत्रीकरण तथा योग के लिए चिह्नों के नियमों के आधार पर हम गुणन के लिए चिह्नों के नियम प्राप्त करते हैं।

टिप्पणी।

नीचे लिखा है जोड़ और घटाव के लिए साइन नियम,विज़ुअलाइज़ेशन से प्राप्त किया गया। और लाल रंग में, तुलना के लिए, गणित की पाठ्यपुस्तक से संकेतों के समान नियम। कोष्ठक में ग्रे प्लस एक अदृश्य प्लस है, जो किसी धनात्मक संख्या के लिए नहीं लिखा जाता है।

पदों के बीच हमेशा दो चिह्न होते हैं: संचालन चिह्न और संख्या चिह्न (हम प्लस नहीं लिखते हैं, लेकिन हमारा मतलब इससे होता है)। चिह्नों के नियम जोड़ (घटाव) के परिणाम को बदले बिना वर्णों के एक जोड़े को दूसरे जोड़े से बदलने का प्रावधान करते हैं। वास्तव में, केवल दो नियम हैं.

नियम 1 और 3 (विज़ुअलाइज़ेशन के लिए) - डुप्लिकेट नियम 4 और 2... स्कूल व्याख्या में नियम 1 और 3 दृश्य योजना से मेल नहीं खाते हैं, इसलिए, वे जोड़ने के लिए संकेतों के नियमों पर लागू नहीं होते हैं। ये हैं कुछ अन्य नियम...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)............ + - = - (+) ठीक है

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ठीक है

स्कूल नियम 1. (लाल) आपको एक पंक्ति में दो प्लस को एक प्लस से बदलने की अनुमति देता है। यह नियम जोड़ और घटाव के चिन्हों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

स्कूल नियम 3. (लाल) आपको घटाव संक्रिया के बाद किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न नहीं लिखने की अनुमति देता है। यह नियम जोड़ और घटाव के चिन्हों के प्रतिस्थापन पर लागू नहीं होता है।

जोड़ के लिए चिह्नों के नियमों का अर्थ जोड़ के परिणाम को बदले बिना चिह्नों के एक जोड़े को दूसरे चिह्नों के जोड़े से बदलना है।

स्कूल पद्धतिविदों ने दो नियमों को एक नियम में मिलाया:

धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय चिह्नों के दो नियम (चिह्नों के एक जोड़े को चिह्नों के दूसरे जोड़े से बदलना);

किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न न लिखने के दो नियम।

दो अलग-अलग नियमों को एक में मिलाने पर गुणन में चिह्नों के नियम समान होते हैं, जहां दो चिह्नों का परिणाम तीसरा होता है। वे बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं.

बड़ी उलझन! बेहतर ढंग से सुलझाने के लिए फिर से वही बात। आइए हम ऑपरेशन चिह्नों को संख्या चिह्नों से अलग करने के लिए उन्हें लाल रंग से हाइलाइट करें।

1. जोड़ और घटाव. चिह्नों के दो नियम जिनके अनुसार पदों के बीच चिह्नों के जोड़े आपस में बदले जाते हैं। ऑपरेशन चिन्ह और संख्या चिन्ह.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. दो नियम जिनके अनुसार किसी धनात्मक संख्या के लिए धन चिह्न न लिखने की अनुमति है। प्रवेश फॉर्म के ये हैं नियम जोड़ने पर लागू नहीं होता. धनात्मक संख्या के लिए केवल संक्रिया का चिन्ह लिखा जाता है।

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. गुणन के लिए चिन्हों के चार नियम। जब कारकों के दो लक्षण उत्पाद के तीसरे लक्षण में परिणत होते हैं। गुणन चिह्न नियमों में केवल संख्या चिह्न होते हैं।

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

अब जब हमने फॉर्म नियमों को अलग कर दिया है, तो यह स्पष्ट होना चाहिए कि जोड़ और घटाव के लिए संकेत नियम गुणन के लिए संकेत नियमों के समान नहीं हैं।

वी. कोज़ारेंको

दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं- यह एक नियम है जो हमने स्कूल में सीखा और जीवन भर लागू किया। और हममें से किसकी दिलचस्पी इसमें क्यों थी? निःसंदेह, अनावश्यक प्रश्न पूछे बिना और मुद्दे के सार में गहराई से उतरे बिना इस कथन को याद रखना आसान है। अब पहले से ही पर्याप्त जानकारी मौजूद है जिसे "पचाने" की आवश्यकता है। लेकिन जो लोग अभी भी इस प्रश्न में रुचि रखते हैं, उनके लिए हम इस गणितीय घटना की व्याख्या देने का प्रयास करेंगे।

प्राचीन काल से, लोगों ने सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया है: 1, 2, 3, 4, 5,... संख्याओं का उपयोग पशुधन, फसलों, दुश्मनों आदि की गिनती के लिए किया जाता था। दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर, उन्हें हमेशा एक धनात्मक संख्या मिलती थी; एक मात्रा को दूसरे से विभाजित करने पर, उन्हें हमेशा प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलती थीं - इस तरह भिन्नात्मक संख्याएँ प्रकट हुईं। घटाव के बारे में क्या? बचपन से, हम जानते हैं कि अधिक में कम जोड़ना और अधिक में से कम घटाना बेहतर है, और फिर हम ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग नहीं करते हैं। इससे पता चलता है कि अगर मेरे पास 10 सेब हैं, तो मैं किसी को 10 या 10 से कम ही दे सकता हूँ। मेरे पास 13 सेब देने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि मेरे पास वे नहीं हैं। लम्बे समय तक ऋणात्मक संख्याओं की कोई आवश्यकता नहीं थी।

केवल 7वीं शताब्दी ई. से।कुछ गणना प्रणालियों में नकारात्मक संख्याओं का उपयोग सहायक मात्राओं के रूप में किया जाता था जिससे उत्तर में सकारात्मक संख्या प्राप्त करना संभव हो जाता था।

आइए एक उदाहरण देखें, 6x – 30 = 3x – 9. उत्तर खोजने के लिए, बाईं ओर अज्ञात वाले पदों को छोड़ना आवश्यक है, और शेष को दाईं ओर: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 इस समीकरण को हल करते समय, हमारे पास कोई ऋणात्मक संख्या भी नहीं थी। हम अज्ञात वाले पदों को दाईं ओर और बिना अज्ञात वाले पदों को बाईं ओर ले जा सकते हैं: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x)। किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर हमें सकारात्मक उत्तर मिलता है: x = 7.

हम क्या देखते हैं?

ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करने से हमें वही उत्तर मिलना चाहिए जो केवल सकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने पर मिलता है। हमें अब कार्यों की व्यावहारिक असंभवता और सार्थकता के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है - वे समीकरण को केवल सकारात्मक संख्याओं के रूप में कम किए बिना, समस्या को बहुत तेज़ी से हल करने में हमारी सहायता करते हैं। हमारे उदाहरण में, हमने जटिल गणनाओं का उपयोग नहीं किया, लेकिन यदि बड़ी संख्या में पद हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं वाली गणनाएं हमारे काम को आसान बना सकती हैं।

समय के साथ, लंबे प्रयोगों और गणनाओं के बाद, उन नियमों की पहचान करना संभव हो गया जो सभी संख्याओं और उन पर संचालन को नियंत्रित करते हैं (गणित में उन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है)। यहीं से यह आया है एक सिद्धांत जो बताता है कि जब दो नकारात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो हमें एक सकारात्मक संख्या प्राप्त होती है।

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